Unitér mátrix

A komplex U unitér mátrix négyzetes mátrix, melynek transzponált konjugáltja (*-gal jelölve) egyben inverze is:

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=E.\,\!}$

${\displaystyle {U}^{-1}={\overline {U}}^{T}.\,\!}$

Speciális eset

Az unitér mátrix speciális esete az ortogonális mátrix, melyben csak valós számok szerepelnek.

Tulajdonságok

• Sajátértékeinek abszolút értéke 1.
• U invertálható
• |det(${\displaystyle U}$)| = 1
• skalárszorzattartó: :${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle }$, ahol ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ skalárszorzat
• normatartó: ${\displaystyle \|Ux\|=\|x\|}$
• ${\displaystyle U}$ oszlopai ortonormált bázist alkotnak
• ${\displaystyle U}$ sorai ortonormált bázist alkotnak
• a mátrixhoz tartozó lineáris leképezés izometria

Normális mátrixok, ezért a spektrálelmélet szerint felbonthatók a következőképpen:

${\displaystyle U=V\Sigma V^{*}\;}$

Az nxn-es unitér mátrixok csoportot alkotnak

Példa

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2^{-1/2}&2^{-1/2}&0\\-2^{-1/2}i&2^{-1/2}i&0\\0&0&i\end{bmatrix}}}$

Források

• Rowland, Todd: Unitary Matrix (angol nyelven). Wolfram MathWorld

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap