Szimplex

A szimplex a matematikában a háromszög illetve a tetraéder általánosítása végesdimenziós vektortérre. n dimenziós vektortérben n+1 affin független (azaz nem egy hipersíkba eső) pont konvex burkaként fogalmazható meg.

A 2 dimenziós szimplex egy szabályos háromszög

Jellemzése

• egy n dimenziós szimplexnek létezik (n-1) dimenziós, (n-2) dimenziós,…, i dimenziós, …, 2 dimenziós, 1 dimenziós, 0 dimenziós lapja;
• egy ilyen k dimenziós lap pontosan egy k dimenziós szimplexnek felel meg
• 0 dimenziós lapok a csúcsokat jelentik, ebből n dimenziós szimplex esetén n+1 darab van
• 1 dimenziós lapok az éleket jelentik, ebből n·(n + 1)/2 darab van
• az i dimenziós lapok számát pedig ${\displaystyle {n+1 \choose i+1}}$ binomiális együttható adja meg.

Példák

• A 0 dimenziós szimplex: azon x₁ nemnegatív (pozitív vagy 0) koordinátájú pontok halmaza az 1 dimenziós euklideszi térben (számegyenesen), amelyekre x₁ = 1. Ez egy pont.
• Az 1 dimenziós szimplex: azon (x₁, x₂) nemnegatív koordinátájú pontok halmaza a 2 dimenziós euklideszi térben (számsíkon), amelyekre x₁ + x₂ = 1. Ez egy szakasz.
• A 2 dimenziós szimplex: azon (x₁, x₂, x₃) nemnegatív koordinátájú pontok halmaza a 3 dimenziós euklideszi térben, amelyekre x₁ + x₂ + x₃ = 1. Ez egy ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ oldalú szabályos háromszög.
• 1 dimenziós szimplex egy A₁A₂ szakasz
  • csúcsainak száma: 1+1=2
• 2 dimenziós szimplex a szabályos háromszög
  • csúcsainak száma: 2+1=3
  • éleinek száma: ${\displaystyle {3 \choose 2}=3}$, ez az él pedig pontosan a 2-1 dimenziós szimplex
• 3 dimenziós szimplex a szabályos tetraéder
  • csúcsainak száma: 3+1=4
  • éleinek száma: ${\displaystyle {4 \choose 2}=6}$
  • lapjainak száma pedig ${\displaystyle {4 \choose 3}=4}$, ezek a lapok szabályos háromszögek, vagyis a 2 dimenziós szimplexek
• 4 dimenziós szimplexet származtathatjuk a következőképpen:
  • a szabályos tetraéder belsejében, melynek csúcsait jelöljük A, B, C, D-vel, a 4. dimenzió mentén vegyünk fel egy E pontot, melyre teljesül, hogy az EA = EB = EC = ED = AB (azaz bármely két pont távolsága egyenlő).
  • Az E pontot összekötve A-val, B-val, C-vel és D-vel egy 5 csúcsú, 10 élű, 10 lapú, és 5 tetraéder, mint 3 dimenziós lapot tartalmazó poliédert kapunk

További tulajdonságok

• Tekintsük ${\displaystyle n\leq 5}$ esetén az n dimenziós teret. Ha ebben A₀, A₁, …A_i,…A_n n+1 darab pont, és az ezekbe mutató helyvektorokból képzett ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{0}}$, ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}-\mathbf {a} _{0}}$, …, ${\displaystyle \mathbf {a} _{n}-\mathbf {a} _{0}}$ vektorok lineárisan függetlenek, akkor az A_i ${\displaystyle (0\leq i\leq n)}$ pontok konvex burka egy n dimenziós szimplex.
• A szimplexeket egyszerűen ábrázolhatjuk gráfok segítségével: egy n dimenziós szimplexnek egy n+1 csúcsú teljes gráf felel ekkor meg.

Az első néhány szimplex gráfja

Név	Pont	Szakasz	Háromszög	Tetraéder
Dimenzió	0	1	2	3	4	5	6	7
Csúcsok száma	1	2	3	4	5	6	7	8
Gráf

Az információelméletben

• Egyirányú kommunikáció két pont között.

Lásd még

• Szimplex módszer

Források

• http://mathworld.wolfram.com/Simplex.html