matematikai állítás From Wikipedia, the free encyclopedia
Érintő- és szelőszakaszok tétele: Egy tetszőleges külső pontból húzott érintőszakasz hossza megegyezik a pontból húzott szelőszakaszok ( vagy ) mértani közepével. emiatt a tételt ismerik pont körre vonatkozó hatványa néven is.
A tételnek nem csak egyes geometriai bizonyításokban van szerepe, hanem az algebrai problémák geometriai megfogalmazása is ezen keresztül fogalmazódhat meg, illetve fordítva. Például ezen tétel segítségével lehet adott szakasz hosszának négyzetgyökét megszerkeszteni, így elvezet a tétel az aranymetszés problémájáig is.
A háromszög hasonló a háromszöghöz, mert a szög megegyezik az szöggel, PBT és PTA szögek egyenlők, mivel ugyanahhoz az (AT) ívhez tartozó kerületi ill. érintőszárú kerületi szögek. A hasonlóság alapján a megfelelő oldalak aránya megegyezik, azaz . Ezt az arányt átrendezve a bizonyítandó állítást kapjuk.
A tétel igaz akkor is, ha a pont belső pont, bár ekkor nincsen érintő. A tétel általános alakja (szelőtétel néven is ismeretes) a következő:
Vegyünk fel két szelőt a ponton keresztül. Legyenek az egyiken a két metszéspont és , a másikon és .
Az háromszög hasonló az háromszöghöz, mivel a szög és a szög megegyezik, hiszen ugyanahhoz a húrhoz () tartozó külső szögek, valamint a csúcsnál fekvő szögük megegyezik. Hasonló háromszöge megfelelő oldalainak aránya állandó, így kapjuk
amiből átrendezéssel adódik az állításunk. QED
Ha az érintőt olyan speciális szelőnek tekintjük, mely esetén a két metszéspont egybeesik, akkor megkapjuk a pont körre vonatkozó hatványának tételét.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.