Sík (geometria)

A sík a geometriában, azon belül tipikusan a kétdimenziós síkgeometriában és a háromdimenziós térgeometriában fontos fogalom. Leírása, és nem definíciója szerint végtelenül kiterjedt, kétdimenziós objektum. Ha egy egy sík egy egyenes két pontját tartalmazza, akkor a sík a teljes egyenest tartalmazza.

A 3 koordinátasík

Konkrétabban a matematika különböző részterületei különböző objektumokat tekintenek síknak.

Definíciója

Euklidész az Elemekben (az egyeneshez hasonlóan) előbb a felületet definiálja: Felület az, aminek csak hosszúsága és szélessége van, és csak ezután határozza meg a síkot: Síkfelület az, amelyik a rajta levő egyenesekhez viszonyítva egyenlően fekszik. Ma már a síkot is alapfogalomnak tekintjük a geometriában, tehát nem definiáljuk.

Jellemzése

Hogy pontosan mit jelent a sík, azt mindenki magának határozza meg (a mindennapi tapasztalataival összhangban). Geometriai szempontból a sík legfontosabb tulajdonságai:

• Kétdimenziós objektum,^[1] azaz két, egymástól különböző irányban végtelen, a harmadik irányban 0 a kiterjedése.
• Három nem kollineáris^[2] pont egyértelműen meghatározza, azaz ha két síknak létezik három nem kollineáris közös pontja, akkor az összes pontjuk közös.
• Ha két síknak létezik egy közös pontja, akkor létezik olyan egyenes, ami mindkét síkra illeszkedik.

Önálló objektum

A legkisebb projektív sík (hét pont, hét egyenes)

A legkisebb affin sík (négy pont, hat egyenes)

Klasszikus síkfogalom

A klasszikus geometriában az (euklideszi) sík geometriai vizsgálatok tárgya, például abból a szempontból, hogy milyen alakzatok szerkeszthetők meg körzővel és vonalzóval. A sík (ebben az összefüggésben határozott névelővel, mint ami nincs magasabb dimenzióba ágyazva) a rajzlap absztrakciója, ami végtelenül lapos és végtelenül kiterjedt; ahogy az egyenes a ceruzával vagy más eszközzel meghúzott vonal végtelenül vékony és végtelenül hosszú absztrakciója. A modern geometriát a Hilbert-féle axiómarendszer írja le.

Descartes óta a sík azonosítható a valós számok rendezett párosaival, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$-tel. Más szóval, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ a Hilbert-féle geometria modellje. Ezt a valós vektorteret is nevezik síknak.

Projektív sík

A projektív sík megkapható úgy, hogy egyeneseinek párhuzamos nyalábjaihoz hozzáveszünk egy-egy végtelen távoli pontot, és ezek halmazát a sík végtelen távoli egyenesének tekintjük.

Az így kapott projektív sík is leírható algebrailag: homogén valós számhármasokat veszünk. Itt a homogén szó azt jelenti, hogy ha egy számhármas minden tagját ugyanazzal a nullától különböző valós számmal szorozzuk, akkor az új hármas ugyanazt a pontot adja meg, mint a régi. Ugyanezek a hármasok írják le ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ egydimenziós altereit; azaz a projektív sík pontjai azonosíthatók a háromdimenziós tér origóján átmenő egyeneseivel. A projektív sík egyenesei hasonlóan azonosíthatók a háromdimenziós tér origóján átmenő síkjaival.

Általánosítások

Ha gyengítjük a Hilbert-féle axiómákat, például lehetővé tesszük a végességet, akkor véges struktúrákhoz jutunk, melyeket affin vagy projektív síkoknak nevezünk. A legkisebb projektív sík hét pontot és hét egyenest tartalmaz. Tetszőleges egyenes és annak pontjainak eltávolításával affin síkhoz jutunk, négy ponttal és hat egyenessel.

A Descartes-féle modell általánosításában ahelyett, hogy a valós számokkal koordinátáznánk a síkot, egy tetszőleges ${\displaystyle K}$ testet használunk. Így jutunk a ${\displaystyle K^{2}}$ kétdimenziós vektorterekhez, melyek affin síkokat írnak le. A ${\displaystyle K^{3}}$ affin terek segítségével pedig projektív síkok írhatók le. Azonban belátható, hogy nem minden projektív sík írható le ezzel a módszerrel.

Ha ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, akkor meg kell jegyeznünk, hogy a komplex számok valós értelemben már maguk kétdimenziós teret alkotnak. Így a komplex egyenes kétdimenziós, a komplex sík négydimenziós, azonban csak kétdimenziós komplex vektortér. Ha ${\displaystyle K}$ véges, akkor véges síkokhoz jutunk. Ha például ${\displaystyle K=\mathbb {F} _{2}}$, akkor a fent leírt legkisebb projektív, illetve affin síkokhoz jutunk.

Topológiai értelemben a sík csak ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ esetén felület. A ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ esetben komplex felület.

Sík megadása az analitikus geometriában

A sík egyenlete

A sík paraméteres egyenlete

Két metsző sík

Egy sík egyenlete egy olyan egyenlet, melyet a sík minden pontja teljesít, és ha egy pont teljesíti, akkor rajta van a síkon. Az egyenlet különböző alakokat ölthet, attól függően, hogy mely adatokból számították ki.

Legyen ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ a sík egy pontja és egy ${\displaystyle (a,b,c)}$ normálvektor.^[3] Ekkor a sík egyenlete:

${\displaystyle ax+by+cz=d}$

ahol a d konstans a következőképpen adódik:

${\displaystyle d=ax_{0}+by_{0}+cz_{0}}$

A sík egyenlete a skaláris szorzat fogalmát felhasználva is megfogalmazható:

${\displaystyle \langle {\mathbf {(} x,y,z)},{\mathbf {(} a,b,c)}\rangle =d}$

A tengelymetszeti egyenlet alakja:

${\displaystyle {\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}+{\frac {z}{z_{0}}}=1}$

ahol ${\displaystyle (x_{0},0,0)}$, ${\displaystyle (0,y_{0},0)}$ és ${\displaystyle (0,0,z_{0})}$ a sík koordinátategelyekkel vett metszéspontjai. Ha a sík párhuzamos valamelyik tengellyel, akkor az egyenletben nem szerepel az annak megfelelő koordinátát tartalmazó term.

A sík paraméteres egyenlete:

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}+s{\vec {u}}+t{\vec {v}}}$     ${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$

alakú, ahol ${\displaystyle {\vec {p}}}$ támaszvektor, ${\displaystyle {\vec {u}}}$ és ${\displaystyle {\vec {v}}}$ irányvektorok. A ${\displaystyle {\vec {p}}}$ pont a sík tetszőleges pontja, ${\displaystyle {\vec {u}}}$ és ${\displaystyle {\vec {v}}}$ párhuzamosak a síkkal úgy, hogy nem konstansszorosai egymásnak. Az irányvektorok affin koordináta-rendszert feszítenek ki, amiben ${\displaystyle (s,t)}$ a sík pontjainak koordinátái.

A sík hárompontos egyenlete

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}+s({\vec {q}}-{\vec {p}})+t({\vec {r}}-{\vec {p}})}$     ${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$

alakú, ahol ${\displaystyle {\vec {p}}}$, ${\displaystyle {\vec {q}}}$ és ${\displaystyle {\vec {r}}}$ a sík egymástól különböző pontjai, melyek nincsenek egy egyenesen.

A sík normálegyenlete

${\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}=0}$

alakú, ahol ${\displaystyle {\vec {p}}}$ a sík támaszvektora, és ${\displaystyle {\vec {n}}}$ normálvektor. A skaláris szorzat pontosan akkor nulla, ha a normálvektor merőleges a sík pontjának, mint normálvektornak és a támaszpont, mint helyvektornak különbségére. A sík feszítő vektoraira teljesül, hogy ${\displaystyle {\vec {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}}$.

A sík Hesse-féle normálegyenlete

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}=d}$

alakú, ahol ${\displaystyle {\vec {n}}_{0}}$ egységnyi hosszú, a sík irányába mutató normálvektor, és ${\displaystyle d}$ a sík távolsága az origótól.

Magasabb dimenziós terekben a sík lineáris 2-sokaság az ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$-dimenziós térben. A fenti implicit alakban adott egyenletek ezekben a terekben hipersíkokat írnak le. A síkok egyenletrendszere ${\displaystyle n-2}$ egyenletből álló egyenletrendszerrel írható le, mivel ennyi hipersík metszetéből áll elő. Ezeknek a hipersíkoknak egymástól független normálvektorai kellenek, hogy legyenek.

Metszéspontok háromdimenziós térben

Egyenes és sík metszete

Egyenes és sík metszete

A térben az egyeneseket rendszerint ${\displaystyle (x(t),y(t),z(t))}$ paraméterábrázolással, a síkokat ${\displaystyle ax+by+cz=d}$ egyenlettel írják le. Behelyettesítve az egyenes paraméteres ábrázolását a sík egyenletébe adódik az

${\displaystyle ax(t)+by(t)+cz(t)=d\ ,}$

lineáris egyenlet a metszéspont ${\displaystyle t_{0}}$ paraméterére. Ha az egyenletnek nincs megoldása, akkor az egyenes párhuzamos a síkkal. Ha az egyenletnek minden ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ megoldása, akkor az egyenes a síkban van.^[4]

Három sík metszéspontja

Ha az egyenes két sík metszeteként van megadva, és keressük a metszéspontját egy síkkal, akkor három sík metszéspontját kell meghatározni.

Legyenek a síkok ${\displaystyle \varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2,3}$! Ha ${\displaystyle {\vec {n}}_{1},{\vec {n}}_{2},{\vec {n}}_{3}}$ normálvektoraik lineárisan függetlenek, akkor a metszéspont

${\displaystyle {\vec {p}}_{0}={\frac {d_{1}({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})+d_{2}({\vec {n}}_{3}\times {\vec {n}}_{1})+d_{3}({\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2})}{{\vec {n}}_{1}\cdot ({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})}}\ .}$

A bizonyításhoz vegyük figyelembe, hogy ${\displaystyle {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {p}}_{0}=d_{i},\ i=1,2,3,}$ és a skaláris szorzásra vonatkozó szabályokat.^[4]

Pont és sík távolsága

A ${\displaystyle {\vec {p_{0}}}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ pont és az ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$ egyenletű sík távolsága:

${\displaystyle {\frac {|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$

Ha a sík adott a ${\displaystyle {\vec {p_{1}}}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$, ${\displaystyle {\vec {p_{2}}}=(x_{2},y_{2},z_{2})}$, ${\displaystyle {\vec {p_{3}}}=(x_{3},y_{3},z_{3})}$ pontokkal, akkor a távolság számítható a

${\displaystyle {\frac {({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{3}}}-{\vec {p_{1}}})}{\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{3}}}-{\vec {p_{1}}})\right|}}\cdot ({\vec {p_{0}}}-{\vec {p_{1}}})}$

képlettel, ahol ${\displaystyle \times }$ jelöli a vektoriális szorzatot, ${\displaystyle \cdot }$ a skaláris szorzatot, és ${\displaystyle \left|\quad \right|}$ egy vektor hosszát. Alternatív módszerként el lehet végezni az

${\displaystyle a=y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}+y_{2}z_{3}-y_{3}z_{2}+y_{3}z_{1}-y_{1}z_{3}}$

${\displaystyle b=z_{1}x_{2}-z_{2}x_{1}+z_{2}x_{3}-z_{3}x_{2}+z_{3}x_{1}-z_{1}x_{3}}$

${\displaystyle c=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}}$

${\displaystyle d=x_{1}y_{2}z_{3}-x_{1}y_{3}z_{2}+x_{2}y_{3}z_{1}-x_{2}y_{1}z_{3}+x_{3}y_{1}z_{2}-x_{3}y_{2}z_{1}}$

helyettesítést.^[5]

Jegyzetek

1. Az n-dimenziós geometriában a hasonlóan fontos objektumok az (n–1)-dimenziós hipersíkok. Ezekre lényegében minden az itt leírt tulajdonságokkal analóg módon levezethető. Lásd: a hipersík két dimenzióban a hagyományos egyenes → egyenlete ${\displaystyle ax+by+c=0}$ alakú!
2. Nem egy egyenesre illeszkedő.
3. Olyan vektor, ami merőleges a síkra. Gyakran felteszik, hogy a normálvektor egység hosszú, azaz ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1}$. Ez elsősorban kényelmi szempont, mert ekkor sok számítás leegyszerűsödik.
4. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt)
5. Wolfram MathWorld: Point-Plane Distance

Források

• Steffen Goebbels, Stefan Ritter. Mathematik verstehen und anwenden. Springer (2011)
• Lothar Papula. Mathematische Formelsammlung: Für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer (2009)
• Thomas Westermann. Mathematik für Ingenieure. Springer (2008)

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Ebene (Mathematik) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Ez a szócikk részben vagy egészben az Ebenengleichung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Kapcsolódó szócikkek

• Hilbert-féle axiómarendszer
• Koordinátageometria

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap