Reflexív reláció

Reflexív relációnak nevezünk egy homogén kétváltozós relációt, ha a reláció alaphalmazának minden eleme relációban áll önmagával.

Venn-diagram egy reflexív ρ relációról, piros vonal jelöli az egyenlőségi relációt

Ez a szócikk a reflexív relációról szól. Hasonló címmel lásd még: Reflexivitás (egyértelműsítő lap).

Definíció

Legyen A tetszőleges halmaz. Az A halmazon értelmezett ρ reláció reflexív, ha bármely a∈A esetén érvényes

aρa.

Másképpen:

E_A⊆ρ,

ahol E_A az A halmazon értelmezett egy(enlő)ségreláció.

Formulákkal:

jelölésmód	formula
infix	∀a∈A (aρa)
prefix	∀a∈A: ρ(a,a)
halmazalgebrai	EA⊆A

Ekvivalens tulajdonságok

Könnyen igazolható, hogy ugyanezt a fogalmat adják meg a következő tulajdonságok: ρ reflexív akkor és csak akkor, ha

1. ∀a∈A: aρa;
2. ∀a∈A: a∈ρ[a];
3. ∀a∈A: a∈ρ⁻¹[a];
4. ∀a∈A: a∈R(ρ); ahol R(ρ) a ρ reláció értékkészlete;
5. ∀a∈A: a∈ρ^o(a); ahol ρ^o(a) a reláció ún. „önbelseje”;^[1]
6. E_A⊆A

Példák

Egyszerű példák és ellenpéldák

Ilyen például

• bármely halmazon az egyenlőségi reláció
• az egyenesek párhuzamossága (mert minden egyenes párhuzamos önmagával),
• a 0 elhagyása után az egész számok között az oszthatóság (mert minden nem 0 egész szám osztható önmagával),
• a halmazok között a tartalmazási reláció (mert minden halmaz részhalmaza önmagának).

Nem ilyen

• az egyenesek merőlegessége (mert egyetlen egyenes se merőleges önmagára),
• a halmazok között a valódi részhalmaz reláció (mert egyetlen halmaz se valódi részhalmaza önmagának).

További példák

• halmazokon (tetszőleges halmaz hatványhalmazán a tartalmazási reláció és az ekvivalencia)
• valós számokon a kisebb-egyenlő, a nagyobb-egyenlő
• természetes számokon az azonos paritás, vagy általánosabban az azonos maradékosztályba tartozás
• pozitív egész számokon az oszthatóság
• egy sík vagy a tér egyenesein a párhuzamosság
• a tér síkjain a párhuzamosság
• logikai formulák halmazán az logikai ekvivalencia

Hivatkozások

Kapcsolódó szócikkek

• reláció
• irreflexív reláció