Rangkorreláció

A rangkorreláció vagy rangkorrelációs együttható a valószínűségszámításban valószínűségi változók közötti kapcsolatot vizsgál a korrelációhoz hasonlóan. Az összefüggést tetszőleges monoton függvény szerint képes vizsgálni, eloszlásuk vizsgálata nélkül.

A korrelációval szemben a rangkorreláció nemcsak lineáris kapcsolatot tud leírni, továbbá a kilógó adatok sem zavarják.

Közelebbről két rangkorrelációs együtthatót használnak: az egyik a Spearman-rhó, a másik a Kendall-tau. Több megfigyelő észlelései közötti összefüggés vizsgálatára alkalmas a W konkordanciaegyüttható.

Számítása

${\displaystyle N}$ mérésből álló párral kezdünk, jelölje ezeket ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$. A rangkorreláció minden ${\displaystyle x_{i}}$ értékhez relatívan meghatároz egy ragot a többi ${\displaystyle x_{j}}$ értékkel szemben, azaz hozzárendel egy számot ${\displaystyle 1,2,3,\dots ,N}$ közül. Ezután kezelhetők ezek a számok úgy, mintha egyenletes eloszlásból származnának. Ha minden ${\displaystyle x_{i}}$ különböző, akkor minden szám egyszer fordul elő. Ha vannak köztük egyenlőek, akkor a középső értéket kapják, mint amit akkor rendelnének hozzájuk, ha mind különbözőek lennének. Ekkor kapcsolatokról, vagy döntetlenekről beszélnek.^[1] Ez a szám lehet egész, vagy félegész. Mindkét esetben a számok összege ugyanannyi, azaz 1-től ${\displaystyle N}$-ig, vagyis ${\displaystyle N(N+1)/2}$.

Ugyanezt elvégzik az ${\displaystyle y_{i}}$ értékekkel is, mindegyiket az ${\displaystyle y_{j}}$-kkel szembeni rangjával helyettesítik.

Az intervallumskálázott adatok helyettesítésével információt vesztünk, számítása azonban értelmes lehet robosztussága miatt. Ez azt jelenti, hogy kevésbé érzékeny a kilógó adatokra és a hibákra, ahogy a medián is kevésbé érzékeny ezekre, mint az átlag. Rangsorok közötti kapcsolat felderítésében a rangkorrelációnak nincs alternatívája.

Spearman-rangkorreláció

A Spearman-rangkorrelációt Charles Spearman után nevezték el, és gyakran a ρ betűvel illetve ${\displaystyle r_{s}}$-sel jelölik.

Elméletben ρ a Pearson szorzat-momentum-korreláció speciális esete, ahol az adatokat ranggá konvertálják, mielőtt kiszámítják a rangkorrelációt:

${\displaystyle r_{s}={\frac {\sum _{i}(rg(x_{i})-{\overline {rg}}_{x})(rg(y_{i})-{\overline {rg}}_{y})}{{\sqrt {\sum _{i}(rg(x_{i})-{\overline {rg}}_{x})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i}(rg(y_{i})-{\overline {rg}}_{y})^{2}}}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i}(rg(x_{i})rg(y_{i}))-{\overline {rg_{x}rg_{y}}}}{s_{rg_{x}}s_{rg_{y}}}}={\frac {\operatorname {Cov} (rg_{x},rg_{y})}{s_{rg_{x}}s_{rg_{y}}}}.}$

Ahol

${\displaystyle rg(x_{i})}$ az ${\displaystyle x_{i}}$ rangja,

${\displaystyle {\overline {rg}}_{x}}$ az ${\displaystyle x}$ rangjainak középértéke,

${\displaystyle s_{rg_{x}}}$ az ${\displaystyle x}$ rangjainak tapasztalati szórása,

${\displaystyle \operatorname {Cov} (rg(x),rg(y))}$ ${\displaystyle rg(x)}$ és ${\displaystyle rg(y)}$

kovarianciája.

Speciális esetek

A gyakorlatban inkább egy egyszerűbb képletet használnak, ami akkor ad helyes eredményt, ha minden rang különbözik.

A nyers adatokat konvertálják, és minden párra kiszámítják a ${\displaystyle d_{i}}$ különbséget, jelben ${\displaystyle d_{i}=rg(x_{i})-rg(y_{i})}$. Ezzel a ρ

${\displaystyle r_{s}=1-{\frac {6\sum _{i}d_{i}^{2}}{n\cdot (n^{2}-1)}},}$

ahol ${\displaystyle n}$ az értékpárok száma.

Ellenben ha vannak egyező értékek, ez a képlet nem ad pontos eredményt, de ha nem sok helyen azonosak az értékek, akkor az eltérés kicsi. A pontos eredményt egy bonyolultabb képlet adja:^[2]

${\displaystyle r_{s}={\frac {n^{3}-n-{\frac {1}{2}}T_{x}-{\frac {1}{2}}T_{y}-6\sum _{i}d_{i}^{2}}{\sqrt {\left(n^{3}-n-T_{x}\right)\left(n^{3}-n-T_{y}\right)}}}}$

ahol ${\displaystyle \textstyle T_{\bullet }=\sum _{k}(t_{\bullet ,k}^{3}-t_{\bullet ,k})}$.; ${\displaystyle t_{\bullet ,k}}$ az azonos rangú megfigyelések száma, továbbá ${\displaystyle \bullet }$ ${\displaystyle X}$ vagy ${\displaystyle Y}$ helyett áll.

Példák

Első példa

Például vizsgáljuk különböző emberek magasságát és testsúlyát. A magasságok 175 cm, 178 cm és 190 cm; a testsúlyok rendre 65 kg, 70 kg és 98 kg.

Ebben az esetben maximális rangkorreláció adódik, mivel a legkisebb ember a legkönnyebb és a legnagyobb ember a legnehezebb. Ha fordítva lenne, akkor a rangkorreláció is kicsi lenne. A rangkorreláció számszerűen fejezi ki az összefüggést két rangsor között.

Második példa

Adva legyenek megfigyelések két változóról, a-ról és b-ről:

i	1	2	3	4	5	6	7	8
${\displaystyle a_{i}}$	2,0	3,0	3,0	5,0	5,5	8,0	10,0	10,0
${\displaystyle b_{i}}$	1,5	1,5	4,0	3,0	1,0	5,0	5,0	9,5

A rangok meghatározására rendezik az értékeket, és normálják, azaz egyező értékek esetén középértéket vesznek. Ezután helyreállítják az eredeti sorrendet, hogy képezhessék a különbségeket.

Bemenet	Rendezés(érték)	Rang	Rendezés(index)
${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\text{Index}}&{\text{Érték}}\\\hline 1&1{,}5\\2&1{,}5\\3&4{,}0\\4&3{,}0\\5&1{,}0\\6&5{,}0\\7&5{,}0\\8&9{,}5\\\end{array}}}$	${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\text{Index}}&{\text{Érték}}\\\hline 5&1{,}0\\1&1{,}5\\2&1{,}5\\4&3{,}0\\3&4{,}0\\6&5{,}0\\7&5{,}0\\8&9{,}5\\\end{array}}}$	${\displaystyle {\begin{array}{c|c|c||c}{\text{Index}}&{\text{Érték}}&{\text{Rang}}&{\text{Normálva}}\\\hline 5&1{,}0&1&1\\\hline 1&1{,}5&2&(2+3)/2\\2&1{,}5&3&=2{,}5\\\hline 4&3{,}0&4&4\\\hline 3&4{,}0&5&5\\\hline 6&5{,}0&6&(6+7)/2\\7&5{,}0&7&=6{,}5\\\hline 8&9{,}5&8&8\\\end{array}}}$	${\displaystyle {\begin{array}{c|c|c}{\text{Index}}&{\text{Érték}}&{\text{Normált rang}}\\\hline 1&1{,}5&2{,}5\\2&1{,}5&2{,}5\\3&4{,}0&5{,}0\\4&3{,}0&4{,}0\\5&1{,}0&1{,}0\\6&5{,}0&6{,}5\\7&5{,}0&6{,}5\\8&9{,}5&8{,}0\\\end{array}}}$

Az adatokból a következő köztes eredmény adódik:

a értékei	b értékei	a rangjai	b rangjai	${\displaystyle d=Rg(a)-Rg(b)}$	${\displaystyle (Rg(a)-Rg(b))^{2}}$
2,0	1,5	1,0	2,5	−1,5	2,25
3,0	1,5	2,5	2,5	0,0	0,00
3,0	4,0	2,5	5,0	−2,5	6,25
5,0	3,0	4,0	4,0	0,0	0,00
5,5	1,0	5,0	1,0	4,0	16,00
8,0	5,0	6,0	6,5	−0,5	0,25
10,0	5,0	7,5	6,5	1,0	1,00
10,0	9,5	7,5	8,0	−0,5	0,25
					${\displaystyle \sum =26}$

A táblázat a értékei szerint vannak rendezve. Fontos, hogy az értékekhez rangok legyenek rendelve. A sorban kétszer jelenik meg a 3 érték, rangjuk az átlagos (2+3)/2 = 2,5. Ugyanez történik a b adatsornál is.

Werte von a	Werte von b	${\displaystyle t_{a,k}}$	${\displaystyle t_{a,k}^{3}-t_{a,k}}$	${\displaystyle t_{b,k}}$	${\displaystyle t_{b,k}^{3}-t_{b,k}}$
2,0	1,5	1	0	2	6
3,0	1,5	2	6	-	-
3,0	4,0	-	-	1	0
5,0	3,0	1	0	1	0
5,5	1,0	1	0	1	0
8,0	5,0	1	0	2	6
10,0	5,0	2	6	-	-
10,0	9,5	-	-	1	0
		${\displaystyle T_{a}=12}$		${\displaystyle T_{b}=12}$

A Horn-korrekcióval

${\displaystyle r_{s}={\frac {8^{3}-8-6-6-6\cdot 26}{\sqrt {\left({8^{3}-8}-12\right)\left(8^{3}-8-12\right)}}}={\frac {336}{492}}\approx 0{,}6829.}$

adódik.

A szignifikancia meghatározása

Teszt szempontjából a ${\displaystyle \rho }$ érték vizsgálata, hogy nullától különbözik-e, permutációteszt. Kiszámítják annak a valószínűségét is, hogy ${\displaystyle \rho }$ értéke legalább akkora-e, mint ahogy azt a nullhipotézis megjósolja.

Ezt a módszert használhatják viszonylag kis adathalmazokon, amiken egyszerűen létrehozhatók a nullhipotézist valószínűsítő permutációk.

Kendall-tau

Szemben a Spearman-rhóval, a Kendell-tau a rangok közötti különbséget használja fel. Rendszerint a ${\displaystyle \tau }$ értéke kisebb, mint a ${\displaystyle \rho }$ értéke. A ${\displaystyle \tau }$ együtthatót érdemes intervallumskálázott adatokra használni, ha nem normális eloszlásúak, a skálák egyenetlen beosztásúak vagy a szúrópróba mérete kicsi.

Kiszámítása

A ${\displaystyle \tau }$ számításához tekintjük az ${\displaystyle x}$ szerint rendezett ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ és ${\displaystyle (x_{j},y_{j})}$ párokat, ahol ${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$ és ${\displaystyle j=i+1,\ldots ,n}$; továbbá

${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\leq \ldots \leq x_{n}.}$

Az első párt az összes többivel összehasonlítjuk, a második párt az első kivételével mindegyikkel, és így tovább, az utolsót nem hasonlítjuk össze egyikkel sem. Tehát ${\displaystyle n(n-1)/2}$ páronkénti összehasonlítást végzünk.

A következőket állapítjuk meg a párokról:

• Ha ${\displaystyle x_{i}<x_{j}}$ és ${\displaystyle y_{i}<y_{j}}$, akkor konkordáns.
• Ha ${\displaystyle x_{i}<x_{j}}$ és ${\displaystyle y_{i}>y_{j}}$, akkor diszkordáns.
• Ha ${\displaystyle x_{i}\neq x_{j}}$ és ${\displaystyle y_{i}=y_{j}}$, akkor kötés van ${\displaystyle Y}$-ban.
• Ha ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ és ${\displaystyle y_{i}\neq y_{j}}$, akkor kötés van ${\displaystyle X}$-ben.
• Ha ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ és ${\displaystyle y_{i}=y_{j}}$, akkor kötés van ${\displaystyle X}$-ben és ${\displaystyle Y}$-ban.

Megszámoljuk a különböző párokat:

• A konkorodánsok száma ${\displaystyle C}$,
• a diszkordánsok száma ${\displaystyle D}$,
• az ${\displaystyle Y}$-beli kötések száma ${\displaystyle T_{Y}}$, pontosabban a kötésben lévő, Y beli elemekből képezhető, nem rendezett adatpárok száma
• az ${\displaystyle X}$-beli kötések száma ${\displaystyle T_{X}}$, és
• az ${\displaystyle X}$-beli és ${\displaystyle Y}$-beli kötések száma ${\displaystyle T_{XY}}$.

Példa

A T_x ill. T_y kiszámítása: Jelölje t_i a kötésben lévő (azonos) elemek i. csoportjának darabszámát az X halmazban. (pl. az X={1,2,2,5,3,8,8,8,2,9,8} adatsorban két ismétlődő adatcsoport van a "2" 3 alkalommal fordul elő, tehát t₁=3, míg a "8" 4 alkalommal, tehát t₂=4, további kötések nincsenek.) $${\displaystyle Tx=\sum _{i}(t_{i}*(t_{i}-1))/2}$$A fenti adatsorra tehát Tx= ( 3*(3-1) + 4*(4-1) ) /2 = 9

Ty hasonlóan számolható az Y halmazra vonatkozóan.

A Kendall-${\displaystyle \tau }$ a konkordáns és a diszkordáns párok számát hasonlítja össze:

${\displaystyle \tau ={\frac {C-D}{\sqrt {(C+D+T_{X})\cdot (C+D+T_{Y})}}}}$

Ha ${\displaystyle \tau }$ pozitív, akkor több konkordáns pár van, mint diszkordáns. Ami azt jelenti, hogy ha ${\displaystyle x_{i}\leq x_{j}}$, akkor valószínűbb, hogy ${\displaystyle y_{i}\leq y_{j}}$. Ha negatív, akkor a diszkordáns párokból van több, vagyis ha ${\displaystyle x_{i}\leq x_{j}}$, akkor az a valószínűbb, hogy ${\displaystyle y_{i}\geq y_{j}}$. Az ${\displaystyle {\sqrt {(C+D+T_{X})\cdot (C+D+T_{Y})}}}$ normálja a Kendall-${\displaystyle \tau }$ értékét, így

${\displaystyle -1\leq \tau \leq +1.}$

Tesztben

Tekintve egy ${\displaystyle \mathrm {T} }$ valószínűségi változót, Kendall belátta, hogy ha a tesztben

${\displaystyle H_{0}:\tau =0}$ vs. ${\displaystyle H_{1}:\tau \neq 0}$,

akkor a nullhipotézis teljesülése esetén eloszlása approximatívan normális: ${\displaystyle \mathrm {T} \sim {\mathcal {N}}\left(0;{\frac {4n+10}{9n(n-1)}}\right)}$. Az approximációs tezt mellett permutációteszt is végezhető.

További tau együtthatók

Kendall a fent definiált számértékek felhasználásával további három ${\displaystyle \tau }$ együtthatót definiált:

${\displaystyle {\text{Kendall-}}\tau _{a}={\frac {C-D}{n(n-1)/2}}}$

${\displaystyle {\text{Kendall-}}\tau _{b}={\frac {C-D}{{\sqrt {C+D+T_{x}}}{\sqrt {C+D+T_{y}}}}}}$ (lűsd fenn)

${\displaystyle {\text{Kendall-}}\tau _{c}={\frac {2m(C-D)}{(m-1)n^{2}}}}$

A ${\displaystyle \tau _{a}}$ csak akkor alkalmazható, ha nincsenek kötések. A ${\displaystyle \tau _{b}}$ nem négyzetes kontingenciatáblákon nem érheti el a ${\displaystyle +1}$ illetve ${\displaystyle -1}$ szélsőértékeket. Nem veszi figyelembe az ${\displaystyle X}$-ben és ${\displaystyle Y}$-ban levő kötéseket. Négypróbás tesztekben ${\displaystyle \tau _{b}}$ egyezik a ${\displaystyle \Phi }$ együtthatókkal, és ha két, csak 0 és 1 értékeket felvevő valószínűségi változókat vizsgálunk, akkor a Pearson-korrelációval is.

Tetra- és polichorikus korreláció

A Likert-skálával kapcsolatban gyakran tetra- illetve polichorikus korrelációt számolnak. A tetrachorikus korrelációt bináris adatokhoz használják. Az alaphipotézis az, hogy a válaszadók valamilyen mérték szerint adtak választ arra, hogy szerintük mi mennyire teljesül rájuk.

A megfigyelt ${\displaystyle X_{i}\,}$ ordinális változók mögött többnyire ${\displaystyle X_{i}^{*}}$ folytonos változók állnak. A nem megyfigyelt változók közötti kapcsolatot tetra- és polichorikus korrelációk fejezik ki.

Használata akkor javallott, ha a Likert-itemek esetén kevesebb, mint hét.^[3] A gyakorlatban ehelyett a Bravais-Pearson-korrelációval dolgoznak, ám megmutatható, hogy ezzel alábecsülik a korrelációt.^[4]

Becslési módszerek

Feltéve, hogy a ${\displaystyle X_{i}^{*}}$ valószínűségi változók páronként kétváltozós normális eloszlásúak, a maximum-likelihood-módszerrel becsülhető a meg nem figyelt valószínűségi változók közötti korreláció. Ennek két módja van:

Egylépéses módszer: Az ismeretlen korreláció és az ismeretlen intervallumhatárok a maximum-likelihood-függvény paraméterei; azaz egyetlen lépésben becslik őket.

Kétlépéses módszer: Először az intervallumhatárokat becslik azzal a feltevéssel, hogy az ${\displaystyle X_{i}^{*}}$ változók eloszlása normális. A második lépésben kerül sor a korrelációra.

A tetrachorikus korreláció approximációs képlete

${\displaystyle X_{1}}$\${\displaystyle X_{2}}$	0	1
0	${\displaystyle n_{00}}$	${\displaystyle n_{10}}$
1	${\displaystyle n_{01}}$	${\displaystyle n_{11}}$

Két bináris változó esetén a tetrachorikus korreláció közelíthető úgy, mint

${\displaystyle r_{tet}=\cos \left({\frac {\pi }{1+{\sqrt {\frac {n_{00}n_{11}}{n_{01}n_{10}}}}}}\right)}$

ahol a jelölések a jobb oldalon látható kereszttáblázat szerintiek.

Egy ${\displaystyle r_{tet}=-1}$ korreláció pontosan akkor fordul elő, ha ${\displaystyle n_{00}=n_{11}=0}$. Hasonlóan, a ${\displaystyle r_{tet}=+1}$ érték pontosan akkor fordul elő, ha ${\displaystyle n_{01}=n_{10}=0}$.

Jegyzetek

1. lásd Fahrmeir et al. (2004): Statistik, S. 142
2. Horn, D. (1942): A correction for the effect of tied ranks on the value of the rank difference correlation coefficient. In: Educational and Psychological Measurement, 3, 686–690.
3. D. J. Bartholomew, F. Steele, J. I. Galbraith, I. Moustaki (2002): The Analysis and Interpretation of Multivariate Data for Social Scientists, Chapman & Hall/CRC
4. K. G. Jöreskog, D. Sorbom (1988): PRELIS, a program for multivariate data screening and data summarization. Scientific Software, Mooresville

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Rangkorrelationskoeffizient című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.