Maradékos osztás

A maradékos osztás egy matematikai művelet.

Az egész számok körében az osztás nem mindig végezhető el. Ha elvégezhető, akkor az a egész osztható a b egésszel. Ha az a egész nem osztható a b egésszel, akkor az egész számok körében maradék képződik; az osztás nem fejezhető be. A maradékos osztás, más néven bennfoglalás eredménye nemcsak a hányados, hanem a maradék is.

Bármely két pozitív egész szám közül a nagyobbikat el tudjuk osztani a kisebbel úgy, hogy az osztási maradék kevesebb legyen, mint a kisebbik szám.

Formális leírása

Tetszőleges a és b ≠ 0 egész számokhoz léteznek olyan egyértelműen meghatározott q és r egész számok, melyekre

${\displaystyle a=b\cdot q+r\ }$

és 0 ≤ r < |b|^[1]

Itt q-t a és b hányadosának, r-t pedig az osztás maradékának nevezzük. Magának az eljárásnak, amelynek során a és b alapján q-t és r-et meghatározzuk, a-nak b-vel való maradékos osztása a neve.

Az egyértelműség bizonyítása

Indirekt módon bizonyíthatunk. Tegyük fel, hogy valamely a és b számokra nem teljesül, azaz találunk ${\displaystyle q_{1},q_{2},r_{1},r_{2}}$ számokat, amikre

${\displaystyle a=bq_{1}+r_{1}}$ és

${\displaystyle a=bq_{2}+r_{2}}$

teljesül egyszerre. A két egyenlet különbségét véve kapjuk, hogy

${\displaystyle 0=b(q_{1}-q_{2})+(r_{1}-r_{2})}$

Átrendezve:

${\displaystyle (r_{2}-r_{1})=b(q_{1}-q_{2})}$.

Mivel pedig a maradékok kisebbek, mint b, a különbségüknek csak akkor lehet osztója, ha az nulla, így ${\displaystyle r_{1}=r_{2}}$. Így pedig kapjuk, hogy a hányadosok különbsége is nulla, azaz ${\displaystyle q_{1}=q_{2}}$.

Geometriai értelmezése

Ha adott egy ${\displaystyle a}$ és egy ${\displaystyle b}$ hosszúságú szakasz, akkor a maradékos osztás hányadosa az a szám, ahányszor a kisebbik szakasz a nagyobbikra felmérhető, míg a maradék a fennmaradó szakasz hosszát adja eredményül. Vegyük észre, hogy ez az értelmezés némileg szélesebb körű definíciót tesz lehetővé, mivel így a maradékos osztást a valós számokra is ki tudjuk terjeszteni. Tulajdonképpen ebből az értelmezésből vezette le Euklidész a róla elnevezett algoritmust, illetve a szakaszok összemérhetőségének fogalmát.

Euklideszi gyűrűk

A fogalom általánosításával definiálható az euklideszi gyűrűk fogalma is: ha egy gyűrűben van egy norma, amire igaz, hogy minden elempár esetén a pár egyik tagját a másik tag egy gyűrűbeli elemmel való szorzatának és egy, a másik tagnál kisebb normájú elemnek az összegeként kaphatjuk meg. Röviden:

${\displaystyle \forall (a,b)\in R:\exists (q,r)\in R,(a=bq+r)\wedge \left(||r||<||b||\right)}$

További információk

• Alice és Bob - 17. rész: Alice és Bob ókori haverja
• Alice és Bob - 18. rész: Alice és Bob felcsavarja a számegyenest
• Alice és Bob - 21. rész: Alice és Bob titkosít

Források

1. Freud Róbert, Gyarmati Edit Számelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó 2000, 2006.