Kvadratikus forma

A matematikában a kvadratikus forma egy függvény, ami bizonyos értelemben az ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$ másodfokú függvényhez hasonlóan működik. Például a kizárólag másodfokú tagokból álló polinomok kvadratikus formák. Erre egy példa egy vektor hosszának négyzete: ${\displaystyle {\vec {v}}=(x,y,z,\dots )}$:

${\displaystyle |{\vec {v}}|^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\dots }$

Kvadratikus formákkal a lineáris algebrán kívül is találkozhatunk. A geometriában metrikákat vezethetünk be velük, illetve az elemi geometriában kúpszeleteket írhatunk le vele. A racionális és az egész számok felett a számelméleti vizsgálódások klasszikus tárgya, ahol is kvadratikus formákkal ábrázolható számokat karakterizálnak.

Motiváció

Egy ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ skalárszorzattal ellátott ${\displaystyle V}$ valós vektortér normált térré tehető, amennyiben egy ${\displaystyle x}$ vektor normáját úgy értelmezzük, mint ${\displaystyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$ (indukált norma). Azonban a négyzetgyökvonás miatt nehezebb ezt a képletet általánosítani, és kapcsolatba hozni bilineáris formákkal, és más skalártestek fölötti vektorterekre általánosítani; ezért inkább a négyzetgyökvonás nélküli ${\displaystyle q\colon x\mapsto \langle x,x\rangle }$ leképezést tekintjük, és vizsgáljuk más testekben és vektorterekben. Ezeket az összefüggéseket találjuk:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}q(ax)=a^{2}q(x)&\mathrm {minden} \quad a\in K{\text{ s }}x\in V\\q(x+y)+q(x-y)=2q(x)+2q(y)&\mathrm {minden} \quad x,y\in V\end{array}}}$

A fenti feltételeknek megfelelő ${\displaystyle q\colon V\to K}$ leképezéseket bilineáris formák nélkül is vizsgálhatjuk, és tovább általánosíthatjuk őket egységelemes kommutatív gyűrűk fölötti modulusokra. Gyakran vizsgált skalárgyűrű az egész számok ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ gyűrűje, illetve a ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ modulus, különösen a ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ modulus.

Definíció

n határozatlanú kvadratikus forma

Egy ${\displaystyle A}$ egységelemes kommutatív gyűrű fölötti (${\displaystyle n}$ határozatlanú) kvadratikus forma egy (${\displaystyle n}$ határozatlanú) homogén másodfokú polinom ${\displaystyle A}$-beli együtthatókkal.

Az algebrában a forma fogalmát Legendre vezette be.^[1]

Speciális esetek

• Az ${\displaystyle n=2}$ esetben binér kvadratikus formákról beszélünk. Egy binér kvadratikus forma egy ${\displaystyle aX^{2}+bXY+cY^{2}}$ alakú polinom, ahol ${\displaystyle a,b,c\in A}$.
• Az ${\displaystyle n=3}$ esetben ternér kvadratikus formákról van szó, melyek alakja ${\displaystyle aX^{2}+bXY+cXZ+dY^{2}+eYZ+fZ^{2}}$, ahol ${\displaystyle a,\dotsc ,f\in A}$.

Kvadratikus formák modulusok fölött

Általánosabban a kvadratikus formákat modulusok fölött definiálják. Legyen ${\displaystyle M}$ modulus; ekkor egy ${\displaystyle M}$ fölötti kvadratikus forma egy ${\displaystyle q\colon M\to A}$ leképezés a következő tulajdonságokkal:

• Minden ${\displaystyle a\in A}$ és ${\displaystyle x\in M}$ esetén ${\displaystyle q(ax)=a^{2}q(x)}$.
• Definiáljuk a ${\displaystyle b(x,y):=q(x+y)-q(x)-q(y)}$ ${\displaystyle b\colon M\times M\to A}$ leképezést, ami lineáris mindkét argumentumában, vagyis bilineáris forma ${\displaystyle M}$ fölött. Ez automatikusan szimmetrikus, vagyis ${\displaystyle b(x,y)=b(y,x)}$. Ez a ${\displaystyle q}$-hoz tartozó szimmetrikus bilineáris forma.

Egy fenti értelemben vett kvadratikus forma a modulusok fölötti definíció szerint kvadratikus forma ${\displaystyle A^{n}}$ fölött.

Kvadratikus modulus

Egy kvadratikus modulus egy ${\displaystyle (M,q)}$ pár, ahol ${\displaystyle M}$ egy A fölötti modulus, és ${\displaystyle q}$ kvadratikus forma ${\displaystyle M}$ fölött.

Legyen ${\displaystyle b}$ a ${\displaystyle q}$-hoz tartozó szimmetrikus bilineáris forma. Ekkor az ${\displaystyle x,y\in M}$ elemek ${\displaystyle q}$-ortogonálisak, illetve ${\displaystyle b}$-ortogonálisak, ha ${\displaystyle b(x,y)=0}$

Kvadratikus tér

Egy ${\displaystyle (V,q)}$ kvadratikus modulus kvadratikus tér, ha ${\displaystyle V}$ vektortér. Ekkor a hozzá tartozó skalárgyűrű test.

Tulajdonságok

A következőkben feltételezzük, hogy a ${\displaystyle 2}$ invertálható az ${\displaystyle A}$ gyűrűben. Ez kizárja a további jellemzésből a 2 karakterisztikájú gyűrűket. Mivel a valós és a komplex számok karakterisztikája különbözik 2-től, és a 2 invertálható mindkettőben, így ennek a feltételnek megfelel.

Hozzárendeljük a ${\displaystyle \textstyle q(x)=\sum _{1\leqslant i\leqslant j\leqslant n}q_{ij}x_{i}x_{j}}$ kvadratikus formához a ${\displaystyle Q=(q_{ij}}$, ${\displaystyle i\leqslant j}$ háromszögmátrixot, ahol a fennmaradó elemek nullák. Ezzel ${\displaystyle q(x)}$ felfogható úgy is, mint ${\displaystyle x^{T}Qx}$, és úgy is, mint ${\displaystyle x^{T}Q^{T}x}$.

Kapcsolat a szimmetrikus bilineáris formákkal: Van egy egy-egyértelmű megfeleltetés az ${\displaystyle n}$ határozatlanú kvadratikus formák és az ${\displaystyle A^{n}}$ fölötti bilineáris formák között:

Egy ${\displaystyle q}$ kvadratikus formához megkapható a hozzá tartozó ${\displaystyle B}$ szimmetrikus bilineáris forma polarizációval:

${\displaystyle B(x,y)={\frac {1}{2}}\left(q(x+y)-q(x)-q(y)\right).}$

Megfordítva

${\displaystyle q(x)=B(x,x).}$

Formálisan nézve ez a konstrukció csak egy polinomfüggvényt ad; azonban ténylegesen polinom kapható, ha a bilineáris formát mátrixszal ábrázoljuk, vagy kiterjesztjük tetszőleges ${\displaystyle A}$-algebrára.

Formák ekvivalenciája: Ha ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ soros mátrix, akkor az ${\displaystyle y=Sx}$ helyettesítéssel egy ${\displaystyle y^{T}(S^{T}QS)y}$ kvadratikus formához jutunk. Ha ${\displaystyle S}$ invertálható, akkor az új formából visszakaphatjuk a régit. Összességében definiálható egy ${\displaystyle \Gamma }$ mátrixcsoport a kvadratikus formákon vett ekvivalenciareláció bevezetésével. Ezek a ${\displaystyle \Gamma }$-ekvivalens kvadratikus formák.

Definitség: Valós vagy komplex formák esetén alkalmazhatók a mátrixkritériumok a ${\displaystyle Q+Q^{T}}$ mátrixra, így állítások tehetők arra, hogy a forma milyen előjelű értékeket vesz fel ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-en. Ennek megfelelően lehet a kvadratikus forma pozitív definit, negatív definit, illetve indefinit. Ha nullvektortól különböző értékeken is felvehet nullát, akkor lehet pozitív szemindefinit, negatív szemindefinit vagy indefinit.

Példák

Valós kvadratikus formák

Legyen ${\displaystyle V}$ valós vektortér; ekkor Sylvester tehetetlenségi tétele miatt minden ${\displaystyle q\colon V\to \mathbb {R} }$ kvadratikus forma diagonizálható, tehát létezik olyan ${\displaystyle e_{1},\dotsc ,e_{n}}$ bázis ${\displaystyle V}$-ben, úgy, hogy

${\displaystyle q(\lambda _{1}e_{1}+\dotsb +\lambda _{n}e_{n})=\lambda _{1}^{2}+\dotsb +\lambda _{a}^{2}-\lambda _{a+1}^{2}-\dotsb -\lambda _{a+b}^{2}}$

alkalmas ${\displaystyle a,b}$-re, ahol ${\displaystyle a+b\leq n}$. Egy kvadratikus forma izomorfizmusosztályát meghatározza ${\displaystyle a+b}$ rangja, és ${\displaystyle a-b}$ szignatúrája.

Kvadratikus formák számtestek fölött

A ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ fölötti kvadratikus formákat Minkowski osztályozta. Hasse kiterjesztette ezt a klasszifikációt számtestekre. Pontosabban, két kvadratikus forma akkor és csak akkor izomorf, ha minden teljessé tételük (valós, komplex, p-adikus) izomorf, lásd Hasse–Minkowski-tétel.

Kvadratikus formák egész számok fölött

Azt mondják, hogy az egész számok fölött két pozitív definit kvadratikus forma, ${\displaystyle (V,q),(V^{\prime },q^{\prime })}$ neme megegyezik, ha minden ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$-re az ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ skalárral bővítés (vagyis tenzorszorzás ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$-nel) izomorf kvadratikus formákat kapunk ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$-en. Az ugyanolyan nemű izomorfiaosztályok számát Smith–Minkowski–Siegel súlyformulájával lehet meghatározni.

Elemi számelmélet

Sok eredmény van arra, hogy egy adott, egész számok fölötti kvadratikus formula felvehet-e egy adott értéket. Ehhez meg kell jegyezni, hogy

• ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ az n soros, egészeket tartalmazó 1 determinánsú mátrixok csoportja
• ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ az n soros, egészeket tartalmazó ±1 determinánsú mátrixok csoportja

melyek önmagukra képezik a ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ rácsot és a ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$-beli relatív prímek halmazát, így a további eredmények ekvivalens kvadratikus formák egész családjaira állnak fenn.

Ismert példák:

• ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ alakú négyzetszámok: Az ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$ egyenlet egészeken vett megoldásai pitagoraszi hármasok. A legismertebb példa az ${\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}$ egyenlőség. Ez a végtelen sok megoldás közül a legkisebb. A fenti paraméteres leíráson túl a pitagoraszi hármasokról további információk találhatók a szakirodalomban.^[2][3]
• Az ${\displaystyle w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ alakú számok: A kvadratikus forma első ismert példája, amivel minden természetes szám előállítható. Ez a négynégyzetszám-tétel.^[4]
• Az ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0}$ egyenlet egész megoldásai, ahol ${\displaystyle a,b,c}$ egészek, páronként relatív prímek, négyzetmentesek, és nem mind ugyanolyan előjelűek. Csak olyan nem triviális megoldások léteznek, hogy ${\displaystyle -ab{\pmod {c}}}$, ${\displaystyle -bc{\pmod {a}}}$ és ${\displaystyle -ca{\pmod {b}}}$ kvadratikus maradékok. Ez Legendre eredménye.^[5]
• Az ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ alakú prímszámok: Ezek pontosan a 2 és a ${\displaystyle \equiv 1{\pmod {4}}}$ alakú prímszámok. Történelmi jelentőségű megfigyelés, Fermatra megy vissza. Egy modern bizonyítás megtalálható a Das BUCH der Beweise 4. fejezetében.^[6]
• Az ${\displaystyle x^{2}+xy+y^{2}}$ alakú prímszámok: Ezek a 3 és az ${\displaystyle \equiv 1{\pmod {3}}}$ alakú prímszámok.^[7]
• Az ${\displaystyle x^{2}+ny^{2}}$ alakú prímszámok: Cox könyve foglalkozik a kérdéssel..^[1]

Ha két kvadratikus forma mátrix alkalmazásával átvihető egy másikba, akkor egy egész szám pontosan akkor ábrázolható az egyik kvadratikus forma értékével, ha a másik értékével is ábrázolható. Ez közvetlenül adódik a definícióból: ${\displaystyle (Aq)(x_{1},\dotsc ,x_{n})=q(A^{-1}x_{1},\dotsc ,A^{-1}x_{n})}$. A számelmélet szempontjából a ${\displaystyle q}$ és az ${\displaystyle Aq}$ kvadratikus formák ekvivalensek, és felmerül a kérdés, hogy találjunk egy lehetőleg egyszerű reprezentációs rendszert az ${\displaystyle n}$ változós kvadratikus formák számára modulo ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )}$ hatására. A kétváltozós kvadratikus formák esetén Gauß is foglalkozott a témával, a Disquisitiones Arithmeticae 5. fejezetében, 260 oldalon át, ami a könyv fő része.

Mai nyelven szólva, ez azt jelenti pozitív definit kvadratikus formák esetén, hogy a cél találni egy fundamentális tartományt ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )}$ hatásához az ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )/O(n)}$ szimmetrikus téren (a pozitív definit kvadratikus formák terén).

Az SL(2,ℤ) hatásának fundamentális tartományai a hiperbolikus síkon

Az ${\displaystyle n=2}$ esetben a ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )/O(2)}$ pozitív definit binér kvadratikus formák azonosíthatók a hiperbolikus síkkal. Az ábra a hiperbolikus sík felbontását mutatja ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} )}$ szerinti fundamentális tartományokra. Egy ilyen fundamentális tartomány (mint például az ábrán szürkére színezett) a binér kvadratikus formák egy reprezentánsrendszerét adja, úgy, hogy minden pozitív definit binér kvadratikus forma ekvivalens egy kvadratikus formával a kvadratikus tartományból, így ugyanazokat az egész számokat ábrázolja.

Hasonló, kapcsolódó problémák a kvadratikus formák terén kívül a nagy Fermat-tétel és a Waring-probléma.

Kapcsolódó fogalom

Egy kvadratikus forma (projektív) nullhelyeinek halmaza a kvádrika.

Lásd még

• Forma (algebra)