Implikáció

Az implikáció, kondicionális vagy szubjunkció logikai művelet, használjuk a matematikai logikában, informatikában. Két állítást kapcsol össze, és jelentése a ha, akkor nyelvi kifejezéshez áll közel. Példa: Ha esik az eső, akkor az út vizes. Az implikáció a logikában nem fordítható meg, visszafelé a következtetés nem érvényes. Így például nem lehet arra következtetni az előző állításból, hogy ha vizes az utca, akkor esik az eső. A nyelvben a Ha, akkor szavakkal összekapcsolt mondatoknak gyakran más logikai művelet felel meg, ahol a következtetés visszafelé is érvényes: az ekvivalencia, más néven bikondicionális. A két művelet közötti különbségről hosszabban a bikondicionális cikkünkben írunk.

Az implikáció csak akkor hamis, hogyha A igaz, és B hamis. Ez a tartomány a Venn-diagramon fehér.
Klasszikusan ${\displaystyle A\rightarrow B\Leftrightarrow \neg A\lor B}$

${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \lor }$

Különbséget kell tenni a logikai és a metanyelvi implikáció között. A metanyelvi implikáció két állításról tesz kijelentést, Például: Az „Esik az eső.” állítás implikálja a „Vizes az utca.” állítást. A kettő közötti kapcsolat az, hogy az egyik akkor és csak akkor igaz, hogyha a másik is. Az implikáció feltétlenül nem jelent oksági kapcsolatot, anélkül is fennállhat.

Félreértésekhez vezet, hogy a hamis előtag implikál bármilyen utótagot. Így például a „Ha ${\displaystyle 2\cdot 2=5}$, akkor az ember halhatatlan.” mondat igaz, de mindkét tagja hamis. Az implikáció igaz voltából nem lehet következtetni az utótag igaz voltára. Ez a materiális implikáció paradoxona.

Jelölése

Az implikációt jelölheti → nyíl, ${\displaystyle \Rightarrow }$ kettős nyíl, vagy ${\displaystyle \supset }$ patkó. Lengyelformában C a jele. Ha a nyíl, illetve patkó iránya fordított, akkor az utótag implikálja az előtagot. Gottlob Frege a klasszikus logika első formalizációjával az implikációt jellel fejezte ki fogalomírásában.

Igazságtáblája

Ha p és q ítéletek, melyek lehetséges értékei 0 (hamis) vagy 1 (igaz), akkor az implikáció műveletét, melynek jele a →, a következő művelettábla szerint értelmezzük:

p	q	p→q
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

ahol 1 az igaz, 0 a hamis jele.^[1] Már Megarai Philon is így értelmezte a műveletet.

A fentiek szerint hamis állításból következhet hamis, hamisból következhet igaz (reductio ad absurdum módszere), igazból nem következhet hamis, igazból következhet igaz állítás.^[2] Ez tulajdonképpen a „Ha…, akkor…” kijelentésnek felel meg. Példa: Ha húsz fok van odakint, akkor nem veszek kabátot.

Tulajdonságai

Az implikáció:

• disztributív önmagára: ${\displaystyle (s\rightarrow (p\rightarrow q))\rightarrow ((s\rightarrow p)\rightarrow (s\rightarrow q))}$
• tranzitív: ${\displaystyle ((a\rightarrow b)\rightarrow (b\rightarrow c))\rightarrow (a\rightarrow c)}$
• reflexív: ${\displaystyle a\rightarrow a}$
• Teljesül a totalitás is: ${\displaystyle (a\rightarrow b)\vee (b\rightarrow a)}$
• igazőrző, azaz abban az interpretációban, ahol az operandusok mindegyike igaz, az implikáció is igaz
• az előfeltételek felcserélhetősége:

${\displaystyle (a\rightarrow (b\rightarrow c))\equiv (b\rightarrow (a\rightarrow c))}$

A ${\displaystyle p\rightarrow q}$ formula ekvivalens ${\displaystyle \lnot p\lor q}$-val, és a De Morgan-szabály alapján ${\displaystyle \lnot (p\land \lnot q)}$-val (inferencia).^[3] A minimális logikában azonban az implikáció csak logikailag következik a ${\displaystyle \lnot p\lor q}$ képletből. Az intuicionista logikában az implikációból következik ${\displaystyle \lnot p\lor q}$.

Jegyezzük meg, hogy ${\displaystyle a\rightarrow (b\rightarrow c)}$ logikailag ekvivalens ${\displaystyle (a\land b)\rightarrow c}$-vel. Ezt curryzésnek nevezik, emiatt kényelmes jobbra zárójelező írásmódot bevezetni az implikációra: ${\displaystyle a\rightarrow b\rightarrow c}$ azt jelenti, hogy ${\displaystyle a\rightarrow (b\rightarrow c)}$.

Az ${\displaystyle A\rightarrow B}$ implikáció kifejezhető úgy is, mint ${\displaystyle \neg A\lor B}$. A ${\displaystyle \neg (A\rightarrow B)}$ tagadás megfelel ${\displaystyle A\land \neg B}$-nek.

A dialogikus logikában

A dialogikus logikában az implikációt a következő szabályok definiálják:

Implikáció	Támadás	Védekezés
${\displaystyle A\rightarrow B}$	${\displaystyle A?}$	${\displaystyle B}$

A dialogikus logikában a támadó kétségbe vonja az előtagot. Ekkor a védőnek először az előtagot, majd az utótagot kell bizonyítania. Például ha az állítja: Ha a benzinárak nőnek, akkor csökken az autóforgalom, akkor a támadó kétségbe vonhatja, hogy a benzinárak tényleg nőnek, azért ezt kell először bizonyítania. Keretrendszertől függ, hogy az implikációs kapcsolatot, vagy az utótagot az előtagtól függetlenül kell-e igazolnia.

Formális összekötőként

Formális összekötőként a következő szabályok alkalmazhatók rá:^[1]

• modus ponens
• kondicionális bizonyítás
• klasszikus kontrapozíció
• klasszikus reductio ad absurdum

A logikai összekötőként való megközelítés lehetővé teszi a szerkezetileg azonos propozíciós formák vizsgálatát különböző logikai rendszerekben, melyekben különböző tulajdonságok mutathatók ki. Például az intuicionista logika nem fogadja el a kontrapozíciót, így (p → q) ⇒ ¬p ∨ q nem propozíciós tétel, viszont az implikációval definiálja a tagadást.

A formális logikában

A formális logikában megkülönböztetik a ${\displaystyle \models }$ szemantikus következmény relációtól. Azt mondjuk, hogy ${\displaystyle A\models B}$, hogyha minden interpretációban, ahol A igaz, B is igaz. Azonban a legtöbb logika, köztük a klasszikus logika szerint a kettő kapcsolatban áll egymással:

• Ha ${\displaystyle \Gamma \models \psi }$, akkor ${\displaystyle \varnothing \models (\varphi _{1}\land \dots \land \varphi _{n}\rightarrow \psi )}$ valamely ${\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}\in \Gamma }$ esetén. Szavakkal, ha Γ modellezi ψ-t, akkor ψ levezethető a Γ állításainak egy részéből.
• Ugyanez teljesül megfordítva is.
• Mindkét reláció monoton, azaz, ha ${\displaystyle \Gamma \models \psi }$, akkor ${\displaystyle \Delta \cup \Gamma \models \psi }$, és ha ${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }$, akkor ${\displaystyle (\varphi \land \alpha )\rightarrow \psi }$ valamely

α, Δ esetén. Erre gyakran gyengítésként hivatkoznak.

Mindezek a kapcsolatok nem állnak fenn minden logikában, így például a nem monoton logikákban, illetve a relevancialogikákban.

A természetes nyelvben

A természetes nyelvben:

• Nem lehet az, hogy ha P igaz, akkor Q nem igaz.
• Nincs P Q nélkül. Ahol a következmény hiányáról van szó.

Források

• Rüdiger Inhetveen: Logik. Eine dialog-orientierte Einführung. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2003, ISBN 3-937219-02-1.
• Wilhelm Kamlah, Paul Lorenzen: Logische Propädeutik. Vorschule des vernünftigen Redens. Metzler, Stuttgart 1996, ISBN 3-476-01371-5.
• Kuno Lorenz, Paul Lorenzen: Dialogische Logik. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-06707-X.
• Paul Lorenzen: Lehrbuch der konstruktiven Wissenschaftstheorie. Metzler, Stuttgart 2000, ISBN 3-476-01784-2.

Jegyzetek

1. Clarke, Matthew C.: A Comparison of Techniques for Introducing Material Implication. Cornell University, 1996. március 1. (Hozzáférés: 2012. március 4.)
2. Magnus, P.D: forallx: An Introduction to Formal Logic. Creative Commons, 2012. január 6. (Hozzáférés: 2013. május 28.)
3. Teller, Paul: A Modern Formal Logic Primer: Sentence Logic Volume 1. Prentice Hall, 1989. január 10. [2013. szeptember 27-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2013. május 28.)

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Subjunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Material conditional című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.