matematikai művelet From Wikipedia, the free encyclopedia
A hatványozás két szám között értelmezett matematikai művelet. Jelölése (ejtsd: a a b-ediken), ahol a-t alapnak, b-t kitevőnek nevezzük.
Pozitív egész b kitevő esetén a hatványozás b darab egymást követő azonos szám összeszorzását jelenti. Például:
A hatványozás a permanenciaelvet alkalmazva egyéb kitevőkre is értelmezhető. Ez azt jelenti, hogy az egyéb kitevős hatványokat úgy definiáljuk, hogy tulajdonságaikban a lehető leginkább hasonlítsanak a pozitív egész kitevős hatványra.
Ha lemondunk a hatványozás egyértelműségéről, akkor bármely nemnulla komplex szám alapra és tetszőleges komplex kitevőre is általánosítható a hatványfogalom.
A hatványozás műveletén alapszik a helyiértékes számábrázolás, azaz a számrendszerek használata. A leggyakoribb, tízes számrendszerben például a 10 hatványait használjuk, ezek például a 10, 100, 1000.
Az 1 és a 0 hatványozása (-t leszámítva) mindig 1-et, illetve 0-t ad eredményül, tehát:
Ha a tetszőleges valós szám, b pedig 1-nél nagyobb pozitív egész szám, akkor hatvány azt a b tényezős szorzatot jelenti, amelynek minden tényezője a:
Mivel egytényezős szorzat nem létezik, a b=1 esetet külön kell definiálni:
Ha az a valós szám nem nulla, akkor
A kifejezés nem értelmezhető ellentmondásmentesen.
Ha a tetszőleges nem nulla valós szám, -b pedig negatív egész, akkor
Mivel b pozitív egész, ez a kifejezés a korábbi definíció alapján értelmezhető.
A nulla negatív hatványai nem értelmezhetők, mert nullának nincs reciproka.
Legyen a nemnegatív valós szám, b pedig racionális törtszám. Ekkor a racionális szám definíciója alapján b felírható p/q alakban, ahol p egész, q pedig 1-től különböző pozitív egész. Az hatvány ennek segítségével a következőképpen értelmezhető:
Negatív alap esetében a matematika nem egységes. Bizonyos esetekben például a következőképp értelmezik:
Ekkor azonban fontos, hogy a kitevőt egyszerűsített alakjában írjuk fel, például ha a belső hatványkitevőt és a gyökkitevőt is beszorozzuk kettővel, akkor elveszítjük a 8-as előjel-információját:
Legtöbbször azonban a negatív számok hatványait a valós számok körében csak egész kitevő esetén értelmezik, törtkitevő esetén pedig a komplex számok többértékű hatványfogalmát használják (lásd lejjebb).
Ha a nemnegatív valós szám, b pedig irracionális szám, akkor:
Ahol lim a határértéket jelöli, x pedig csak racionális értéket vesz fel. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy az irracionális kitevőjű hatvány értéke „nagyon közel” van a körülötte lévő racionális kitevőjű hatványok értékéhez. Ebben a definícióban azt használtuk ki, hogy a racionális számok „sűrűn” helyezkednek el, azaz bármely két valós szám között végtelen sok racionális szám található.
A valós kitevős hatvány az exponenciális függvény és a logaritmus segítségével is bevezethető:
Belátható, hogy a hatványozás azonosságai ezzel is érvényben maradnak, és hogy ugyanazt kapjuk, mint a határértékes módszerrel.
Az Euler-féle szám a következő bizonyíthatóan konvergens sorozat határértékével definiált valós szám:
Bebizonyítható, hogy x valós kitevő esetén:
Határérték-számítási és egyéb átalakítások elvégzésével az előbbi ex átírható a következő hatványsorformába:
Ezt a kifejezést x függvényeként tekintve definiáljuk[1] az exponenciális függvényt:
Tetszőleges pozitív valós alapra és valós kitevőre az ln természetes logaritmus segítségével a következőképp írható fel a hatvány:
A hatványozás kiterjeszthető a komplex számok halmazára is.
Ha az alap komplex, a kitevő pedig egész, akkor a valós definíciókkal megegyező módon:
A komplex kitevőjű hatvány legegyszerűbben az exponenciális függvény általánosításának segítségével definiálható, hiszen ahhoz csak a fent definiált egész kitevős hatványra, osztásra, összeadásra és határértékképzésre van szükség:
Ezután a pozitív valós szám komplex z kitevős hatványa:
Az előző képletben szerepel az a szám természetes logaritmusa (ln a). Azonban azokra a komplex számokra, melyek nem pozitív valósok (C\R+), a természetes logaritmus nem egyértelmű. Az ilyen számokra csak a komplex természetes logaritmus értelmezhető, ami a következő halmaz: (k bármilyen egész szám)
A természetes logaritmus többértékűsége miatt az általános komplex nemnulla alapú hatvány is többértékű (k tetszőleges egész):
A következő táblázat bemutatja, hogy milyen számhalmazokból álló számok hatványa mit jelent. Ahová egyértelmű van írva az azt jelenti, hogy nem muszáj a többértékű komplex természetes logaritmust használni a kiszámításhoz. Ahová többértelmű van írva, ott ez elkerülhetetlen, viszont megállapodás szerint ott is kiválasztható egy elsődleges érték a végtelen sok közül.
Nem minden számpár illik kizárólag egy sorba. Ezekre a számpárokra mindkét definíció alkalmazható.
a ∈ | b ∈ | ab kiszámítása | A definíció egyértelműsége |
---|---|---|---|
egyértelmű | |||
pozitív egész kitevőnél ismételt szorzással, negatív egésznél ismételt osztással, 0 kitevőnél mindig 1 | egyértelmű | ||
többértelmű (k tetszőleges egész) | |||
egyértelmű | |||
– | nem értelmezett | ||
A fenti táblázatnak megfelelő sorrendben:
A nulla nulladik hatványát általában nem definiálják:
Néha azonban mégis célszerű egynek definiálni a nulla nulladik hatványát:
A szorzat alakú definícióval belátható azonosságok pozitív egész kitevő esetén:
Azonos kitevőjű hatványok szorzata: az alapok szorzata a közös kitevőre emelve.
Azonos alapú hatványok szorzata: a közös alap a kitevők összegére emelve.
Azonos alapú hatványok osztása esetén a tört egyszerűsíthető.
Az eredmény attól függ, hogy a számláló vagy a nevező kitevője nagyobb.
Tört hatványa egyenlő a számláló és a nevező hatványának hányadosával.
A komplex számok hatványozása nem egyértelmű. Ekkor az azonosságok mindkét oldalának több lehetséges értéke is lehet. A két oldal egyenlősége az ezek által alkotott két halmaz egyenlőségeként értendő.
A nulla nulladik hatványáról szóló szakaszban látható, hogy a két változós xy függvénynek nincs határértéke (0,0)-ban.
Tekintsük az f(x,y) = xy függvényt az x > 0 tartományon. Jelöljük ezt a tartományt D-vel. Tekintsük D-t részhalmazának, és keressük itt az f függvény határértékeit!
f-nek D minden torlódási pontjában van határértéke, kivéve a (0,0), (+∞,0), (1,+∞) és az (1,−∞) pontokban. Eszerint az xy függvény folytonosnak tekinthető, ha 0 ≤ x ≤ +∞, −∞ ≤ y ≤ +∞, a 00, (+∞)0, 1+∞ és 1−∞, amiket továbbra sem értelmezünk.[7]
Ezzel a folytonossági tulajdonsággal
Jó, ha észben tartjuk, hogy ezek a határértékek csak pozitív alapokra érvényesek. A folytonossági módszer nem alkalmazható, ha x < 0. Valójában a negatív számok tört kitevős hatványai nem értelmezhetők úgy, mint a pozitívoké. Még az egész kitevős hatványoknak sincs határértéke a végtelenben a váltakozó előjel miatt.
Sokszor a felső index függvények esetén nem hatványozást, hanem iterációt jelöl; tehát f3=f(f(f(x))). Ezt a jelölést sokszor figyelmeztetés nélkül használják. Az iterált függvényrendszerek a dinamikai rendszerek és a fraktálok tanulmányozásában használatosak. Ez az iteráció a hatványozáshoz hasonlóan kiterjeszthető tört értékekre is. Az f1/2(x) számításával Babbage foglalkozott először.
A trigonometrikus függvények esetén azonban történeti okok miatt a pozitív felső index hatványozást, a negatív felső index viszont sokszor az inverz függvény hatványait jelöli, annak ellenére, hogy ezeknek is van rövidített nevük. Hasonló teljesül a logaritmusokra is.
Az egész kitevős hatványok az absztrakt algebrai struktúrákban is definiálhatók (félcsoportban, csoportban).
Ezekben a struktúrákban az x elem pozitív egész kitevős hatványa az egész kitevős hatványok mintájára definiálható. Az n tényezős szorzatot hatványként jelölve teljesülnek a következő tulajdonságok:
Ha a műveletnek van kétoldali egységeleme, akkor x0 = 1 minden x elemre. Így
Ha az x elem invertálható, akkor a hatványozás kiterjeszthető a negatív kitevőkre is:
Ha a szorzás kommutatív, akkor még a következő is teljesül:
különben az egyenlőség csak akkor áll fenn, ha x és y felcserélhető.
Az Abel-csoportokban szokásos additív jelölés esetén ismételt összeadással az egész számmal szorzás vezethető be a hatványozáshoz hasonlóan. Ekkor a szorzásnak a hatványozással analóg tulajdonságai lesznek.
Más műveletek iteratív alkalmazását is szokásos felső kitevővel jelölni. A félreértések elkerülése végett ilyenkor a művelet jelét is felviszik a felső indexbe. Például jelölhetik a konvolúciós hatványt így: x*n
Csoportokban a konjugálás műveletét szintén felső index jelöli: gh = h−1gh a g csoportelem konjugáltja h-val. Léteznek olyan algebrai struktúrák, amikben a konjugálás hatványozáshoz hasonló tulajdonságai fontos szerepet kapnak.
Ha A halmaz, n természetes szám, akkor An az A halmaz elemeiből képzett n-esek számát jelöli. Ez egyenlő az {0, 1, 2, ..., n−1} → A függvények számával; az (a0, a1, a2, ..., an−1) n-es annak a függvénynek felel meg, ami i-hez ai-t rendel.
A κ végtelen kardinális szám esetén ezt a függvényhalmazt Aκ jelöli. Szokták balra is írni a felső indexet, hogy megkülönböztessék a kardinális hatványozástól.
Ha κ és λ kardinális szám, akkor κλ azoknak a függvényeknek a számosságát jelöli, amik egy λ számosságú halmaz elemeihez egy κ számosságú halmaz elemeit rendeli.[5] Véges számokra ez a definíció a megszokott jelentést adja.
A kardinális számok hatványozását meg kell különböztetni a rendszámok hatványozásától, ami transzfinit indukcióval határértékként definiálható.
Egyes algebrai struktúrák hatványozása, vagy direkt összege is definiálható. Ezzel újabb struktúrákat kaphatunk. A lineáris algebrában például vehetjük vektorterek direkt összegét, ahol az indexek egy tetszőleges indexhalmazból valók. Ha az összeadandó vektorterek mindegyike a valós számokkal izomorf, és n természetes szám, akkor a sokat tanulmányozott n dimenziós valós euklideszi térhez jutunk.
Ahogy az összeadás iteráltja a szorzás, és a szorzásé a hatványozás, úgy a hatványozásnak is van iterált művelete: a tetráció. A tetráció is iterálható, és így tovább. A műveleteknek ezt a sorozatát az Ackermann-függvény foglalja magában, és a Knuth-féle nyíl jelöléssel jelölhető. Minden iterált művelet kétváltozós függvénynek tekintve gyorsabban nő, mint az előző: a (3,3) helyen az összeadás, a szorzás, a hatványozás és a tetráció eredménye rendre 6, 9, 27, 7 625 597 484 987.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.