HU
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms

Harmonikus rezgőmozgás

From Wikipedia, the free encyclopedia

Harmonikus rezgőmozgás
A mozgás jellemzéseKinematikai leírásAz egyenletes körmozgás és a harmonikus rezgőmozgás kapcsolataDinamikai leírásHarmonikus oszcillátor energiájaRezgések összetételeEgyirányú, azonos frekvenciájú rezgések összetételeEgyirányú, különböző frekvenciájú rezgések összetételeMerőleges, azonos frekvenciájú rezgések összetételeMerőleges, különböző frekvenciájú rezgések összetételeForrásokTovábbi információkKapcsolódó szócikkek

Harmonikus rezgőmozgásnak nevezzük a két szélsőérték között, szinuszos periodicitással végzett mozgást. Szemléletesen, ha egy rugóhoz rögzített testet kitérítünk nyugalmi helyzetéből és magára hagyjuk, a test két a szélső helyzet között periodikusan ismétlődő mozgást végez majd. (Itt a testet pontszerűnek tekintjük, és csak kis mértékben térítjük ki nyugalmi helyzetéből, így nem okozunk maradandó alakváltozást a rugóban. A mozgás leírása során a külső erők hatását (pl. közegellenállás) elhanyagoljuk.)

Thumb
Harmonikus rezgőmozgás

Vannak nemharmonikus rezgőmozgások is, ezek közül legfontosabbak a csillapított rezgések.

Thumb
Harmonikus rezgőmozgás
  • A test nyugalmi helyzettől való legnagyobb kitérését amplitúdónak nevezzük. Jele: A, mértékegysége: m (méter).
  • A periódusidő vagy rezgésidő az egy teljes rezgés megtételéhez szükséges idő. Jele: T, mértékegysége: s (másodperc).
  • A rezgésszám a t idő alatt megtett rezgések száma, jele: N, mértékegység nélküli mennyiség.
  • A rezgés frekvenciája az időegység alatt megtett rezgések száma. Jele: f vagy ν {\displaystyle \nu } {\displaystyle \nu }, mértékegysége: 1 s = H z {\displaystyle {\frac {1}{s}}=Hz} {\displaystyle {\frac {1}{s}}=Hz} (hertz). f = 1 T = N t {\displaystyle f={\frac {1}{T}}={\frac {N}{t}}} {\displaystyle f={\frac {1}{T}}={\frac {N}{t}}}
  • A körfrekvencia jele: ω {\displaystyle \omega } {\displaystyle \omega }, mértékegysége: rad/s (nem összetévesztendő a rezgés frekvenciával, melynek mértékegysége 1/s = Hz). ω = 2 π T = 2 π f {\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f} {\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f}
  • A kezdőfázis jele: ϕ 0 {\displaystyle \phi _{0}} {\displaystyle \phi _{0}}, mértékegység nélküli mennyiség.
Thumb
Kitérés-idő grafikon
Thumb
Kitérés, sebesség, gyorsulás

Kitérés-idő függvény: x ( t ) = A ⋅ sin ⁡ ( ω t + φ 0 ) {\displaystyle x(t)=A\cdot \sin(\omega t+\varphi _{0})} {\displaystyle x(t)=A\cdot \sin(\omega t+\varphi _{0})}
Sebesség-idő függvény: v ( t ) = A ω ⋅ cos ⁡ ( ω t + φ 0 ) {\displaystyle v(t)=A\omega \cdot \cos(\omega t+\varphi _{0})} {\displaystyle v(t)=A\omega \cdot \cos(\omega t+\varphi _{0})}
Gyorsulás-idő függvény: a ( t ) = − A ω 2 ⋅ sin ⁡ ( ω t + φ 0 ) = − ω 2 x {\displaystyle a(t)=-A\omega ^{2}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{0})=-\omega ^{2}x} {\displaystyle a(t)=-A\omega ^{2}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{0})=-\omega ^{2}x}

A harmonikus rezgőmozgást végző test gyorsulása egyenesen arányos a kitéréssel, és azzal ellentétes irányú. A sebesség és a gyorsulás is periodikus függvénye az időnek.

A sebesség maximuma a sebességamplitúdó: v m a x = A ω {\displaystyle v_{max}=A\omega } {\displaystyle v_{max}=A\omega }
A gyorsulás maximuma a gyorsulásamplitúdó: a m a x = − A ω 2 {\displaystyle a_{max}=-A\omega ^{2}} {\displaystyle a_{max}=-A\omega ^{2}}

Az egyenletes körmozgás és a harmonikus rezgőmozgás kapcsolata

Figyeljünk meg egy egyenletes körmozgást és egy harmonikus rezgőmozgást végző tömegpontot! A körmozgást állítsuk be úgy, hogy a sugara egyezzen a rezgés amplitúdójával, és periódusidejük megegyezzen. Ha oldalról (a körmozgás síkjából) egymás mellé vetítjük a két tömegpont árnyékát, azonos kezdőfázis esetén a két árnyék együtt mozog, mindkettő harmonikus rezgőmozgást végez.

Thumb
Harmonikus rezgőmozgás referenciaköre
Thumb
Egyenletes körmozgás és harmonikus rezgőmozgás

A harmonikus rezgőmozgást a pont egyensúlyi helyzetétől mért kitérésével egyenesen arányos, és azzal ellentétes irányú erő, az úgynevezett harmonikus erő hozza létre: F = − D x {\displaystyle F=-Dx} {\displaystyle F=-Dx}, ahol D rugóállandó vagy direkciós állandó.

A dinamika alapegyenlete: m x ¨ = − D x {\displaystyle m{\ddot {x}}=-Dx} {\displaystyle m{\ddot {x}}=-Dx}.

A differenciálegyenlet megoldásaként olyan függvényt keresünk, melynek idő szerinti második deriváltja arányos magával a függvénnyel. Ilyen pl. a szinusz- és a koszinuszfüggvény.

Az egyenlet megoldása: x ( t ) = A ⋅ sin ⁡ ( ω t + φ ) {\displaystyle x(t)=A\cdot \sin(\omega t+\varphi )} {\displaystyle x(t)=A\cdot \sin(\omega t+\varphi )}, ahol a körfrekvencia ω = D m {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {D}{m}}}} {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {D}{m}}}}, a periódusidő T = 2 π m D {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{D}}}} {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{D}}}}.

Egy harmonikus oszcillátornak, attól függően, hogy pályája melyik pontjában található lehet csak helyzeti (potenciális) energiája (maximális kitérés esetén), csak mozgási energiája (egyensúlyi ponton való áthaladáskor), vagy egyszerre mindkettő.

E = E p + E k {\displaystyle E=E_{p}+E_{k}} {\displaystyle E=E_{p}+E_{k}}, ahol a két energiát ki lehet fejteni, mint

E p = D x 2 2 = k A 2 s i n 2 ( ω 0 t + φ 0 ) 2 {\displaystyle E_{p}={\frac {Dx^{2}}{2}}={\frac {kA^{2}sin^{2}(\omega _{0}t+\varphi _{0})}{2}}} {\displaystyle E_{p}={\frac {Dx^{2}}{2}}={\frac {kA^{2}sin^{2}(\omega _{0}t+\varphi _{0})}{2}}}

és

E k = m v 2 2 = m ω 0 2 A 2 c o s 2 ( ω 0 t + φ 0 ) 2 {\displaystyle E_{k}={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {m\omega _{0}^{2}A^{2}cos^{2}(\omega _{0}t+\varphi _{0})}{2}}} {\displaystyle E_{k}={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {m\omega _{0}^{2}A^{2}cos^{2}(\omega _{0}t+\varphi _{0})}{2}}}

Tudva, hogy ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} {\displaystyle \omega _{0}} körfrekvenciára érvényes az ω 0 2 = k m {\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {k}{m}}} {\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {k}{m}}} összefüggés, az előző egyenlet egyszerűbb alakra hozható. Vagyis,

E = k A 2 ( c o s 2 ( ω 0 t + φ 0 ) + s i n 2 ( ω 0 t + φ 0 ) ) 2 = k A 2 2 {\displaystyle E={\frac {kA^{2}(cos^{2}(\omega _{0}t+\varphi _{0})+sin^{2}(\omega _{0}t+\varphi _{0}))}{2}}={\frac {kA^{2}}{2}}} {\displaystyle E={\frac {kA^{2}(cos^{2}(\omega _{0}t+\varphi _{0})+sin^{2}(\omega _{0}t+\varphi _{0}))}{2}}={\frac {kA^{2}}{2}}}.

A végeredmény értelmezhető a körfrekvenciával is, ekkor az előző kifejezés a következőképp módosul:

E = m ω 0 2 A 2 2 {\displaystyle E={\frac {m\omega _{0}^{2}A^{2}}{2}}} {\displaystyle E={\frac {m\omega _{0}^{2}A^{2}}{2}}},

ami átírható az

E = m v 2 2 {\displaystyle E={\frac {mv^{2}}{2}}} {\displaystyle E={\frac {mv^{2}}{2}}} alakra is.

Az energia E = k A 2 2 {\displaystyle E={\frac {kA^{2}}{2}}} {\displaystyle E={\frac {kA^{2}}{2}}} és E = m ω 0 2 A 2 2 ( = m v 2 2 ) {\displaystyle E={\frac {m\omega _{0}^{2}A^{2}}{2}}(={\frac {mv^{2}}{2}})} {\displaystyle E={\frac {m\omega _{0}^{2}A^{2}}{2}}(={\frac {mv^{2}}{2}})} alakjaiból levonhatjuk a következő következtetéseket:

  1. Az energia időtől független, vagyis állandó
  2. A maximális helyzeti energia megegyezik a maximális mozgási energiával
  3. Köztes esetben az összenergia E = k A 2 2 {\displaystyle E={\frac {kA^{2}}{2}}} {\displaystyle E={\frac {kA^{2}}{2}}}, amely megoszlik, mint a potenciális és mozgási energia összege az adott pillanatban

Egyirányú, azonos frekvenciájú rezgések összetétele

A két rezgés frekvenciája megegyezik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. A két rezgés kitérés-idő függvénye:

x 1 ( t ) = A 1 ⋅ sin ⁡ ( ω t + φ 1 ) {\displaystyle x_{1}(t)=A_{1}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{1})} {\displaystyle x_{1}(t)=A_{1}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{1})}
x 2 ( t ) = A 2 ⋅ sin ⁡ ( ω t + φ 2 ) {\displaystyle x_{2}(t)=A_{2}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{2})} {\displaystyle x_{2}(t)=A_{2}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{2})}

Az eredő mozgás kitérés-idő függvénye: x ( t ) = A 1 ⋅ sin ⁡ ( ω t + φ 1 ) + A 2 ⋅ sin ⁡ ( ω t + φ 2 ) = A ⋅ sin ⁡ ( ω t + δ ) {\displaystyle x(t)=A_{1}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{1})+A_{2}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{2})=A\cdot \sin(\omega t+\delta )} {\displaystyle x(t)=A_{1}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{1})+A_{2}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{2})=A\cdot \sin(\omega t+\delta )},

ahol az eredő amplitúdó A = A 1 2 + A 2 2 + 2 A 1 A 2 cos ⁡ ( φ 2 − φ 1 ) {\displaystyle A={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}} {\displaystyle A={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}} és az eredő kezdőfázis δ = arctan ⁡ ( A 1 sin ⁡ φ 1 + A 2 sin ⁡ φ 2 A 1 cos ⁡ φ 1 + A 2 cos ⁡ φ 2 ) {\displaystyle \delta =\arctan {\Biggl (}{\frac {A_{1}\sin \varphi _{1}+A_{2}\sin \varphi _{2}}{A_{1}\cos \varphi _{1}+A_{2}\cos \varphi _{2}}}{\Biggr )}} {\displaystyle \delta =\arctan {\Biggl (}{\frac {A_{1}\sin \varphi _{1}+A_{2}\sin \varphi _{2}}{A_{1}\cos \varphi _{1}+A_{2}\cos \varphi _{2}}}{\Biggr )}}.

Speciális esetek

  • Maximális erősítés
    Amikor φ 1 = φ 2 {\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}} {\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}}, vagyis a rezgések azonos fázisúak, akkor A = A 1 + A 2 {\displaystyle A=A_{1}+A_{2}} {\displaystyle A=A_{1}+A_{2}}, azaz az eredő rezgés amplitúdója az összetevő rezgések amplitúdójának összege.
  • Maximális gyengítés
    Amikor | φ 2 − φ 1 | = π {\displaystyle |\varphi _{2}-\varphi _{1}|=\pi } {\displaystyle |\varphi _{2}-\varphi _{1}|=\pi }, vagyis a rezgések ellentétes fázisúak, akkor A = | A 1 − A 2 | {\displaystyle A=|A_{1}-A_{2}|} {\displaystyle A=|A_{1}-A_{2}|}, azaz az eredő rezgés amplitúdója az összetevő rezgések amplitúdójának különbsége. Ha az ellentétes fázisú rezgések amplitúdója megegyezik, A=0, a két rezgés épp kioltja egymást.

Egyirányú, különböző frekvenciájú rezgések összetétele

A két rezgés frekvenciája különbözik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. Egy egyszerűsített esetet vizsgálunk, amikor az amplitúdók és a kezdőfázisok megegyeznek. A két rezgés kitérés-idő függvénye:

x 1 ( t ) = A ⋅ sin ⁡ ( ω 1 t ) {\displaystyle x_{1}(t)=A\cdot \sin(\omega _{1}t)} {\displaystyle x_{1}(t)=A\cdot \sin(\omega _{1}t)}
x 2 ( t ) = A ⋅ sin ⁡ ( ω 2 t ) {\displaystyle x_{2}(t)=A\cdot \sin(\omega _{2}t)} {\displaystyle x_{2}(t)=A\cdot \sin(\omega _{2}t)}

Az eredő mozgás kitérés-idő függvénye: x ( t ) = A ⋅ sin ⁡ ( ω 1 t ) + A ⋅ sin ⁡ ( ω 2 t ) = 2 A ⋅ cos ⁡ ( ω 1 − ω 2 2 t ) sin ⁡ ( ω 1 + ω 2 2 t ) {\displaystyle x(t)=A\cdot \sin(\omega _{1}t)+A\cdot \sin(\omega _{2}t)=2A\cdot \cos({\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}t)\sin({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}t)} {\displaystyle x(t)=A\cdot \sin(\omega _{1}t)+A\cdot \sin(\omega _{2}t)=2A\cdot \cos({\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}t)\sin({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}t)}.

Az amplitúdó A ∗ = 2 A ⋅ cos ⁡ ( ω 1 − ω 2 2 t ) {\displaystyle A^{*}=2A\cdot \cos({\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}t)} {\displaystyle A^{*}=2A\cdot \cos({\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}t)}.

Az amplitúdó az idő függvényében periodikusan változik, ezt lebegésnek nevezzük.

Thumb
Eredő pályák A=B esetén

Merőleges, azonos frekvenciájú rezgések összetétele

A két rezgés frekvenciája megegyezik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. A két rezgés kitérés-idő függvénye:

x ( t ) = A ⋅ sin ⁡ ( ω t ) {\displaystyle x(t)=A\cdot \sin(\omega t)} {\displaystyle x(t)=A\cdot \sin(\omega t)}
y ( t ) = B ⋅ sin ⁡ ( ω t + δ ) {\displaystyle y(t)=B\cdot \sin(\omega t+\delta )} {\displaystyle y(t)=B\cdot \sin(\omega t+\delta )}

Az eredő mozgás pályája: x 2 A 2 + y 2 B 2 − 2 x y A B cos ⁡ δ = sin 2 ⁡ δ {\displaystyle {\frac {x^{2}}{A^{2}}}+{\frac {y^{2}}{B^{2}}}-2{\frac {xy}{AB}}\cos \delta =\sin ^{2}\delta } {\displaystyle {\frac {x^{2}}{A^{2}}}+{\frac {y^{2}}{B^{2}}}-2{\frac {xy}{AB}}\cos \delta =\sin ^{2}\delta }. Ez egy ellipszis egyenlete.

Az ellipszis tengelyének iránya δ {\displaystyle \delta } {\displaystyle \delta } fáziskülönbségtől függ.

Merőleges, különböző frekvenciájú rezgések összetétele

A két rezgés frekvenciája különbözik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. A körfrekvenciák aránya ( ω 1 : ω 2 {\displaystyle \omega _{1}:\omega _{2}} {\displaystyle \omega _{1}:\omega _{2}}) alapján két esetet különböztetünk meg:

  • Ha a két körfrekvencia aránya racionális, az eredő rezgés periodikus és a pálya zárt. Ezeket a görbéket Lissajous-görbéknek nevezzük.
Thumb
1:2
Thumb
1:3
Thumb
1:6
Thumb
2:3
Thumb
3:4
Thumb
3:20
Thumb
17:23
Thumb
97:101
  • Irracionális arányú körfrekvenciák esetén a pályagörbe nem záródik.
  • Budó Ágoston: Kísérleti fizika I.
    Tankönyvkiadó, Budapest
  • Tasnádi Péter - Skrapits Lajos - Bérces György: Mechanika I.
    Dialóg Campus Kiadó, Budapest-Pécs ISBN 963-9310-23-9
  • Tellmann Jenő - Darvay Béla - Kovács Zoltán: Fizika, Ábel kiadó, Kolozsvár, 2006
  • Fizikai kísérletek gyűjteménye: Harmonikus rezgés Archiválva 2009. augusztus 19-i dátummal a Wayback Machine-ben
  • Qliss3D - Lissajous-görbe rajzoló program (Ubuntu)
  • Fizikakönyv.hu – Mechanikai rezgések
  • Fizikai inga
  • Matematikai inga
  • Rezgés
  • Rezonancia

  • Fizika Fizikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap
Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

Chrome
Wikiwand for Chrome
Edge
Wikiwand for Edge
Firefox
Wikiwand for Firefox

A mozgás jellemzése

Kinematikai leírás

Dinamikai leírás

Harmonikus oszcillátor energiája

Rezgések összetétele

Források

További információk

Kapcsolódó szócikkek