Friedlander–Iwaniec-tétel

Az analitikus számelmélet területén a Friedlander–Iwaniec-tétel^[1] (vagy Bombieri–Friedlander–Iwaniec-tétel) állítása szerint végtelen sok olyan prímszám létezik, mely az ${\displaystyle a^{2}+b^{4}}$ alakban felírható. Az első néhány ilyen prím:

2, 5, 17, 37, 41, 97, 101, 137, 181, 197, 241, 257, 277, 281, 337, 401, 457, 577, 617, 641, 661, 677, 757, 769, 821, 857, 881, 977, … (A028916 sorozat az OEIS-ben).

Az állítás igazolásának nehézsége a sorozat viszonylagos ritkaságában áll: az ${\displaystyle X}$-nél kisebb, ${\displaystyle a^{2}+b^{4}}$ alakú számok számossága az ${\displaystyle O((10^{k})^{3/4})}$ nagyságrendbe esik. Jelenleg ez a legritkább polinom, amire sikerült igazolni, hogy végtelen sok prímet tartalmaz.

Történet

A tételt 1997-ben John Friedlander és Henryk Iwaniec bizonyította.^[2] Szitatechnikákat használták, Enrico Bombieri aszimptotikus szitáját használva. A Friedlander–Iwaniec-tétel a Yitang Zhang-féle PolyMath8 kollaboratív projekt, a prímszámhézagokat pontosítani szándékozó Bounded gaps between primes^[3] két kulcseredménye közül az egyik (a másik Goldston–Pintz–Yıldırım 2005-ös eredménye volt^[4][5]).

Iwaniec 2001-ben részben ezen munkához való hozzájárulásával nyerte el az Ostrowski Prize-t.^[6]

Heath-Brown később hasonló jellegű eredményt ért el az ${\displaystyle a^{3}+2b^{3}}$ alakú prímek tekintetében.

Speciális eset

Ha b = 1, a Friedlander–Iwaniec-prímek ${\displaystyle a^{2}+1}$ alakot öltenek, ebbe a halmazba pl. a következő számok tartoznak:

2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837, 12101, 13457, 14401, 15377, … (A002496 sorozat az OEIS-ben).

Létezik olyan sejtés (egyike Landau problémáinak) hogy ez a halmaz végtelen. Ez azonban nem következik a Friedlander–Iwaniec-tételből (fordítva, ebből következne a Friedlander–Iwaniec-tétel), és nem bizonyított.

Jegyzetek

1. .
2. .
3. Zhang, Yitang (2014). „Bounded gaps between primes”. Annals of Mathematics 179, 1121–1174. o, Kiadó: Princeton University and the Institute for Advanced Study. DOI:10.4007/annals.2014.179.3.7. (Hozzáférés: 2014. március 11.)
4. Primes in Tuples I, D. A. Goldston, J. Pintz, C. Y. Yildirim, 2005. arXiv.org
5. Wilkinson, Alec. „The Pursuit of Beauty Yitang Zhang solves a pure-math mystery.”, newyorker.com (Hozzáférés: 2015. február 1.) „"Goldston-Pintz-Yıldırım and Bombieri-Friedlander-Iwaniec. Yitang Zhang szavaival: „Az első cikk a hézagok korlátairól szól, a második a prímek eloszlásáról számtani sorozatokban. A kettőt összehasonlítom, hozzáadom a saját leleményeim."”
6. "Iwaniec, Sarnak, and Taylor Receive Ostrowski Prize"

Irodalom

• .

További információk

• J. Friedlander, H. Iwaniec, Using a parity-sensitive sieve to count prime values of a polynomial, PNAS 1997 94:1054-1058
• D.R. Heath-Brown, Primes represented by x3 +2y3; Acta Mathematica, 186 (2001), 1-84.
• B. Z. Moroz, On the representation of primes by polynomials (a survey of some recent results), Proceedings of the Mathematical Institute of the Belarussian Academy of Sciences, 13 (2005), no. 1, pp. 114-119.