From Wikipedia, the free encyclopedia
Az akkor és csak akkor kifejezés egy természetes nyelvi, logikai természetű viszony (reláció), elnevezése a logikai grammatikában bikondicionális. Arra való, hogy két tagmondat felhasználásával olyan összetett mondatot képezzünk, mely szándékaink szerint azt fejezi ki, hogy mindkét tagmondat ugyanazon körülmények között tekinthető igaznak és hamisnak. Például:
A bikondicionális elnevezés abból származik, hogy kifejezhető két implikáció kapcsolataként. Például az „akkor és csak akkor P, ha Q” azt jelenti, hogy a „ha P, akkor Q” és a „ha Q, akkor P” is igaz.
A kifejezés használata ritka (és idegen) a mindennapi nyelvben, de a tudományos nyelvben, főleg a matematika és a filozófia területén igen sokszor előfordul. Ezekből a szaknyelvekből, a német „dann und nur dann” kifejezés tükörfordításaként került a magyarba. Szinonimája a
fordulat, de használják helyette az
kifejezéseket is. Hosszúságára való tekintettel néha rövidítik, pl.:
vagy újabban, az angol „if and only if” kifejezés ottani rövidítését átvéve
Bármilyen logikát is tekintünk érvényesnek, az
nem más, mint a
Ez attól függően más és más, hogy a „… ha akkor …” kondicionálison mit értünk. Ha A B a Philon nevéhez fűződő, illetve a Russell által materiális kondicionálisnak nevezett konnektívum, akkor a bikondicionális igazságtáblázata:
A | B | A ↔ B |
---|---|---|
igaz | igaz | igaz |
igaz | hamis | hamis |
hamis | igaz | hamis |
hamis | hamis | igaz |
Ez az eredmény produkálható XNOR kapuval, tagadása XOR kapuval.[2]
Szokásos jelölése "↔", "", "≡", néha "iff", különösen angol szövegekben. Mindezeket ekvivalensnek tekintik. Az elsőrendű logikában azonban megkülönböztetik a logikai képletekben használt ↔, és a logikai képletek közötti összefüggést jelölő ⇔ jelet. Łukasiewicz lengyelformájában jele 'E'.[3]
A definíciók általában akkor és csak akkor kijelentések, így a szigorú logikai pontosság Kelley szerint megköveteli ennek megfogalmazását. Angol szövegekben ez "if and only if" vagy iff, ahogy az a General Topologyban is olvasható. Azonban ezt nem követi a legtöbb matematikai szöveg, és egyszerű implikációt használ, amit ebben a speciális szövegkörnyezetben ekvivalenciaként kell értelmezni. Ez látható a Wikipédiában is.[5]
A legtöbb logikai rendszerben egy ekvivalencia bizonyítható vagy úgy, hogy „ha P, akkor Q” és „ha Q, akkor P”, vagy „ha P, akkor Q” és „ha nem P, akkor nem Q”.[6] A két állítás bizonyítása gyakran természetesebb, mivel sokkal nehezebb azt észrevenni, hogyan lehet egyből az ekvivalenciát belátni. Egy további alternatíva a „(P és Q) vagy (nem P és nem Q)” bizonyítása, a diszjunkció tagjain keresztül.
Az iff rövidítés először John L. Kelley 1955-ös General Topology című könyvében jelent meg.[7] A jelölés kitalálását Halmos Pálnak tulajdonítják. Ő is úgy gondolta, hogy ő vezette be, de nem volt biztos abban, hogy nem használta előtte más.[8]
Az iff rövidítést szóban általában feloldják, azt mondják, hogy "if and only if". Azonban Kelley és Halmos Pál a jó hangzás kedvéért nem oldották fel, hanem hosszan ejtették az f-et, hogy megkülönböztessék az egyszerű iftől. Ugyanezt javasolják egy diszkrét matematika könyv szerzői, IPA jelekkel is leírva: [ɪfː].[9]
Az Euler-diagramok a halmazelméleti Venn-diagramokra hasonlítanak, de logikai kapcsolatokat fejeznek ki. A bikondicionális két implikációra bontható. Halmazelméleti kapcsolatokkal kifejezve ez azt jelenti, hogy, ha "P→Q", akkor a P tulajdonságú elemek bírnak a Q tulajdonsággal is; tehát a P tulajdonságú elemek a Q tulajdonságúak részhalmazát alkotják. A fordított irányú implikációból következik, hogy a Q tulajdonság feltételezi a P tulajdonságot, azaz minden Q tulajdonságú elem P tulajdonságú is; tehát a Q tulajdonságú elemek a P tulajdonságúak részhalmazát alkotják. Mivel Q része P-nek, és P része Q-nak, azért a P és a Q halmazok megegyeznek.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.