Antikommutativitás

A matematikában antikommutatívnak nevezünk egy, az ${\displaystyle A}$ gyűrűn értelmezett ${\displaystyle *}$ műveletet, ha ${\displaystyle a*b=-b*a}$ minden ${\displaystyle a,b\in A}$-ra.

Példák

Antikommutatív például a kivonás a valós számok körében, vagy a vektoriális szorzat a valós számok fölötti háromdimenziós vektortérben. A Lie-algebrák Lie-zárójel művelete definíció szerint antikommutatív.

Az antikommutativitás nem ellentéte a kommutativitásnak: a nem kommutatív műveletek általában nem antikommutatívak. Például a nullától különböző valós számok osztása nem kommutatív (7:5≠5:7), de ez a művelet nem antikommutatív (hiszen 7:5≠-5:7).

Tulajdonságok

Ha ${\displaystyle A}$ nullosztómentes és karakterisztikája nem 2, akkor egy összeadásra nézve disztributív ${\displaystyle *}$ művelet antikommutativitása ekvivalens azzal, hogy ${\displaystyle a*a=0(\forall a\in A)}$.

Általánosítás

Az antikommutativitás fogalma általánosítható többváltozós műveletekre is. Ebben a bővebb értelemben egy n változós művelet antikommutatív, ha a változók tetszőleges páratlan permutációja az eredmény előjelét ellenkezőre változtatja.

Kapcsolódó szócikkek

• Kommutativitás

Források

• Weisstein, Eric W.: Anticommutative (angol nyelven). Wolfram MathWorld

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap