Aluláteresztő szűrő

Az aluláteresztő szűrő (angolul low-pass filter, LPF) olyan áramkör, mely a továbbítandó jel alacsony frekvenciás összetevőit átengedi, a magas frekvenciásakat kiszűri.^[1] Az aluláteresztő szűrőt nevezik még felülvágó szűrőnek is.

Az aluláteesztő szűrő áramköri jele

Ellentéte a felüláteresztő (avagy alulvágó) szűrő.

Általános karakterisztikája

• Passband (magyarul átviteli sáv): az a frekvenciatartomány, amit a szűrő átenged
• Stopband (magyarul csillapítási sáv): az a frekvenciatartomány, amit a szűrő kiszűr
• Cutoff frequency: vágási frekvencia (f₀)
• Gain: erősítés (A)
• Phase: fázisforgatás (φ)

Felhasználása

Hangtechnikában

• Erősítőknél, keverőknél magashang szabályozás (RC kör, R helyén szabályozható ellenállás)
• Kétutas hangdobozoknál a mélyhang leválasztása (LC kör)
• Utóelnyomás

Analóg videotechnikában

• Ha a videójelet aluláteresztő szűrőn vezetjük át, akkor a kép apró részletei elmosódnak. Jelentősége a képzajszűrésben van.
• A képszinkronjel leválasztása a videojelről: az aluláteresztő szűrő kimenetén a szinkronjelek jelennek meg.
• A függőleges és vízszintes szinkronjel szétválasztása: az alulátersztő szűrő kimenetén a függőleges szinkronjel jelenik meg.

Digitális jelfeldolgozás

• Kvantált hangjelen, hangfájlon magashang elnyomás
• Kvantált képjelen, képfájlon, videófájlon élsimító hatása van. Az élsimító eljárások az aluláteresztő szűrőre épülnek.
• Zajcsökkentő hatás képen és hangon is. A zajcsökkentő eljárások az aluláteresztő szűrőre épülnek.

Megvalósítása

RC szűrőként

Passzív RC szűrő

A legegyszerűbb aluláteresztő szűrő egy ellenállásból és kondenzátorból áll, az alábbi ábrán feltüntetett kapcsolási elrendezésben:^[2]

Az erősítés abszolút értéke:

${\displaystyle |A|={\frac {1}{\sqrt {1+2\omega ^{2}R^{2}C^{2}}}}}$

Fázisforgatás:

${\displaystyle \phi =-\arctan(\omega RC)}$

A kimeneti és bemeneti jel fáziskülönbsége φ(ω). Mivel ez ennél az áramkörnél negatív értékű, ezért a kimeneti szinuszos jel időben pozitív irányba tolódik el. A fáziskülönbségből kiszámíthatjuk, hogy mennyi a két jel közötti Δt időbeli eltolódás:^[3]

${\displaystyle T={\frac {1}{f}}={\frac {2\pi }{\omega }};\Delta t=\phi (\omega ){\frac {T}{2\pi }}}$

Vágási frekvencia:

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi RC}}}$

Ha ${\displaystyle f>>f_{0}\Longrightarrow |A|\approx {\frac {1}{\omega RC}}\Longrightarrow }$ az erősítés fordítottan arányos a frekvenciával és ${\displaystyle u_{ki}={\frac {1}{RC}}\int u_{be}dt\Longrightarrow }$ integráló elemként működik.

Ha ${\displaystyle f=f_{0}}$, akkor a kimeneti feszültség ${\displaystyle u_{ki}}$ a bemeneti jel ${\displaystyle u_{be}}$ lineárisan átvitt és integrált részének összege.

Ha ${\displaystyle f<<f_{0}}$ akkor a kimeneti és bemeneti jel megegyezik: ${\displaystyle u_{ki}=u_{be}}$

Ha bevezetjük a ${\displaystyle p=j\omega ;P=pRC;P={\frac {p}{\omega }}={\frac {j\omega }{\omega _{0}}}=j{\frac {f}{f_{0}}}}$ akkor az erősítés a következőképp alakul:

${\displaystyle A={\frac {1}{1+P}}}$

Ha az igények meredekebb erősítés csökkenést kívánnak a vágási frekvencia közelében, akkor n aluláteresztő szűrőt kapcsolunk sorba:

ekkor az erősítés képlete:

${\displaystyle A={\frac {1}{(1+P_{1})(1+P_{2})(1+P_{3})...(1+P_{n})}}}$

Aktív RC szűrő

Egy adott fokszám fölött nem érdemes több RC tagot összekapcsolni, mert az átvinni kívánt frekvenciatartományban is jelentősen lecsökken az átviteli szint. Ha nagyobb vágási meredekséget akarunk elérni, akkor erősítőáramkör beiktatásával kell aluláteresztő szűrőt készíteni. Egy lehetséges megvalósítás fázisfordító műveleti erősítővel:

Aktív aluláteresztő szűrőből tetszőleges darabszámú tagot kapcsolhatunk egymás után:

RL szűrőként^[4]

RLC szűrőként^[4]

LC szűrőként^[1]

Π topológia

T topológia

T topológiájú aluláteresztő LC szűrő számítása^[5]

${\displaystyle Z_{0(f=0)}={\sqrt {\frac {L_{1}+L_{2}}{C_{1}}}}}$

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{\pi {\sqrt {C_{1}(L_{1}+L_{2})}}}}}$

${\displaystyle L_{1}+L_{2}={\frac {2Z_{0}}{\omega _{0}}}}$

${\displaystyle C={\frac {2}{\omega _{0}Z_{0}}}}$

Programként

uint32_t original[n]; //Eredeti jelfolyam, 32bit bitmélységgel
uint32_t target[n];   //ebben a tömbben jelenik meg a szűrt változat
int i;
...
//Bemeneti paraméterek:
float delta_T, R, C;
...
float alfa = delta_T / ((R*C)+delta_T);
target[1]=alfa*original[1];
for(i=2;i<n;i++){
   target[i] = alfa*original[i]+(1-alfa)*target[i-1];
}