Radián

A radián v. ívmérték a síkszögek egyik mértékegysége, amelyet a rad szimbólummal jelölnek. Dimenzió nélküli mennyiség, mivel két hosszúság hányadosa.

A radián definíciója egységkörben: ${\displaystyle \alpha =b\,}$

A radiánt jelenleg az SI származtatott egységekhez sorolják (korábban kiegészítő egységnek számították). A térszögek egysége a szteradián.

A matematikusok a szöget általában radiánban mérik, és a jelölést elhagyják. Ha fokot használnak, azt a ° jellel különböztetik meg.

Például ${\displaystyle 1\approx 57,345^{\circ }}$, ${\displaystyle 1=57^{\circ }17'44,81''=57,29577951...^{\circ }}$.

Definíció

1 radián az a szög, amely alatt a sugárral megegyező nagyságú ívhossz a középpontból látszik. Másképp: Vegyünk fel egy tetszőleges sugarú (R) körben egy középponti szöget! Ennek a szögnek az ívmértéke (radiánban mért értéke) legyen egyenlő az ív (i) és a sugár hosszának hányadosával. φ=i/R.

Számítása

Egy kör középponti szögének radiánban mért értéke kiszámolható, ha a hozzá tartozó ívhosszat elosztjuk a sugárral.

Egységnyi sugarú körben 1 radián annak a szögnek az ívmértéke, amelyhez éppen 1 hosszegységnyi körív tartozik. Egységkörben ezért a középponti szögek ívmértékének és ívhosszának mérőszáma mindig megegyezik. Ez meglehetősen kényelmessé teszi pl. a trigonometriai jellegű számításokat.

Átszámítás

A radiánból fokokba való átszámítás azon az elemi geometriai tételen alapul, miszerint a kör középponti szögei és azok ívhossza egyenesen arányos, azaz ${\displaystyle \alpha \sim i}$. Tudjuk, hogy a ${\displaystyle \pi }$ radián ${\displaystyle 180^{\circ }}$. Legyen ${\displaystyle a}$ radián egyenlő ${\displaystyle \alpha }$ fokkal!

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi =180^{\circ }\\a=\alpha .\\\end{aligned}}}$

Ebből már a keresztbe szorzás módszerével ki tudjuk fejezni ${\displaystyle \alpha }$-t:

${\displaystyle \alpha ={\frac {a\cdot 180^{\circ }}{\pi }}.}$

Honnan tudjuk, hogy a ${\displaystyle \pi }$ radián 180 fok? A szöghöz tartozó ív és sugár hányadosa megmutatja, hogy a szög hány radián, tehát ${\displaystyle \beta ={\frac {i}{r}}}$. A körívet tekintsük a 360 fokhoz tartozó ívnek, ekkor ${\displaystyle i=2r\pi }$, a sugarat pedig vegyük egységnyinek.

${\displaystyle \beta ={\frac {i}{r}}={\frac {2{\cancel {r}}\pi }{\cancel {r}}}=2\pi }$

Tehát azt kapjuk, hogy a teljesszög (360°) ívmértéke ${\displaystyle 2\pi }$. A ${\displaystyle \pi }$ pedig a ${\displaystyle 2\pi }$ fele, tehát 180°.

Története

A szögnek az ívhosszal való mérésének elvét talán Roger Cotes-nak köszönhetjük (1714).^[1] Nála már minden ismert volt a radiánnal kapcsolatban, a nevét kivéve. Felismerte, hogy ez egy természetes szögmérték.

A radián kifejezés először 1873. június 5-én jelent meg nyomtatásban James Thomson (Queen's College, Belfast) által felvetett kérdések vizsgálata során. James Thomson Lord Kelvin bátyja volt. Ő már 1871-ben használta a kifejezést, míg 1869-ben Thomas Muir (St. Andrew's University) még habozott, hogy a rad, radial vagy radian alakot használja-e. 1874-ben Muir a radiánt fogadta el, miután konzultált James Thomsonnal.^[2]