Palindromszámok

A palindromszám vagy számpalindrom olyan számot (szűken értelmezve tízes számrendszerbeli természetes számot) jelent, amelynek számjegyeit fordított sorrendben írva az eredeti számot kapjuk vissza. Ilyen szimmetrikus szám például a 16461. Maga a palindrom (régiesebb elnevezéssel palindróma) kifejezés általános értelemben a szójátékoknak, azon belül is az anagrammáknak egy fajtáját jelöli. Ilyen szó például a rotor, amely szó visszafelé olvasva is ugyanaz.

Az első néhány palindromszám (tízes számrendszerben):

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202, 212, 222, 232, 242, 252, 262, 272, 282, 292, 303, …

A palindromszámok nagy figyelmet kapnak egyes matematikai feladványokban.^[1] Jellemzőek lehetnek például az olyan problémafelvetések, amelynek során olyan számok keresése a cél, amelyek egyrészt valamely jellegzetes, meghatározott tulajdonsággal bírnak és palindromok. Például:

• palindrom prímek sorozata: 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, …
• palindrom négyzetszámok sorozata: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, …

Buckminster Fuller a Szinergetika című könyvében a palindromszámokat – Az Ezeregyéjszaka meséi című gyűjteményben szereplő mesemondó lány után – Seherezádé-számoknak nevezi.

Könnyen belátható, hogy bármely palindromszám középső (páros számú számjegyből álló palindromszám esetén: középső kettő) számjegyének tetszőleges számú megismétlésével kapott szám szintén palindromszám. Például: 101, 1001, 10001, …

Az egyjegyű számok és az azonos számjegyekből álló számok palindromok. Bármely egész alapú számrendszerben végtelen sok palindromszám van, mert az azonos számjegyekből álló számok minden számrendszerben végtelen sorozatot alkotnak. Ilyenek például a repunitok, amiknek minden jegye 1. Az első néhány repunit 1, 11, 111, …

Definíció

Habár többnyire tízes számrendszerben tekintik a palindromszámokat, a palindromtulajdonság bármely egész alapú számrendszerben felírt természetes számra is alkalmazható.

Tekintsük a b alapú számrendszerben felírt n > 0 számot, ahol is k+1 jegyű, és jegyei az a_i számok:

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b^{i}}$

ahol is 0 ≤ a_i < b minden i-re, és a_k ≠ 0. Az n szám palindrom akkor és csak akkor, ha a_i = a_k‒i minden i-re.

A 0 definíció szerint bármely számrendszerben palindromszám.

Egy másik, az előzővel ekvivalens definíció: Legyen rögzítve a tetszőleges b alap. Az n szám palindrom a b alapú számrendszerben, ha:

• n egyjegyű
• n kétjegyű, és számjegyei egyenlőek
• n legalább háromjegyű; az első számjegye egyenlő az utolsóval, és az első és utolsó számjegy elhagyásával kapott szám palindrom.

Palindromszámok a tízes számrendszerben

A második ekvivalens definíció szerint minden egyjegyű szám palindrom. A kétjegyű palindromok száma 9:

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

A háromjegyű palindromok száma 90; a szorzatszabállyal az első jegy kilencféle lehet; ez meghatározza a harmadik jegyet. A második jegy az elsőtől függetlenül választható, és ez tízzel szorozza meg a lehetőségek számát:

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, …, 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

Négyjegyű palindrom is 90 van, mert az első két számjegy meghatározza a másik két számjegyet is:

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, …, 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},

így 199 palindromszám kisebb, mint 10⁴.

10⁵-ig 1099 létezik, és a többi 10ⁿ hatványra:

1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999, … (A070199 sorozat az OEIS-ben).

A következő táblázatban számelméleti tulajdonságok szerint van listázva a palindromszámok száma:

	101	102	103	104	105	106	107	108	109	1010
n természetes szám	10	19	109	199	1099	1999	10999	19999	109999	199999
n páros	5	9	49	89	489	889	4889	8889	48889	88889
n páratlan	5	10	60	110	610	1110	6110	11110	61110	111110
n négyzetszám	4		7		14	15	20		31
n köbszám	3		4	5			7			8
n prím	4	5	20		113		781		5953
n négyzetmentes	6	12	67	120	675	1200	6821	12160	+	+
n nem négyzetmentes (μ(n)=0)	4	7	42	79	424	799	4178	7839	+	+
n prímnégyzet	2		3		5
n páros sok különböző prím szorzata (μ(n)=1)	2	6	35	56	324	583	3383	6093	+	+
n páratlan számú különböző prím szorzata (μ(n)=-1)	4	6	32	64	351	617	3438	6067	+	+
n páros, és páratlan sok prímtényezője van	1	2	9	21	100	180	1010	6067	+	+
n páros, és páratlan sok különböző prímtényezője van	3	4	21	49	268	482	2486	4452	+	+
n páratlan, és páratlan számú prímtényezője van	3	4	23	43	251	437	2428	4315	+	+
n páratlan, és páratlan számú különböző prímtényezője van	4	5	28	56	317	566	3070	5607	+	+
n páros, négyzetmentes, és előáll páros sok prím szorzataként	1	2	11	15	98	171	991	1782	+	+
n páratlan, négyzetmentes, és páros számú prím szorzata	1	4	24	41	226	+	+	+	+	+
n páratlan, és két prím szorzata	1	4	25	39	205	303	1768	2403	+	+
n páros, és két prím szorzata	2	3	11		64		413		+	+
n páros, és három prím szorzatára bomlik	1	3	14	24	122	179	1056	+	+	+
n páros, és három különböző prím szorzata	0	1	18	44	250	390	2001	+	+	+
n páratlan, és három prímtényező szorzata	0	1	12	34	173	348	1762	+	+	+
n Carmichael-szám	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1
n, aminek osztóösszeg-függvénye palindrom	6	10	47	114	688	1417	5683	+	+	+

Más számrendszerekben

Palindromszámok más számrendszerben is értelmezhetők. Például a kettes számrendszerben:

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, …

tízes számrendszerbeli alakban 0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, … (A006995 sorozat az OEIS-ben). A Mersenne-prímek a kettes számrendszerbeli palindrom prímszámok részsorozatát alkotják.

Általában az egyik számrendszerben palindrom szám nem palindrom egy másik számrendszerben; például 16461₁₀ = 404D₁₆. Az alsó index a számrendszereket jelöli. Vannak olyan számok, amik több számrendszerben is palindromok. Ilyen például a 105₁₀: 1221_4< = 151₈ = 77₁₄ = 55₂₀ = 33₃₄.

Az 1991 tízes és tizenhatos számrendszerben is palindrom: 7C7.

A tizennyolcas számrendszerben hét néhány hatványa palindrom:

73 =     111
74 =     777
76 =   12321
79 = 1367631

A huszonnégyes számrendszerben 5 első nyolc hatványa palindrom:

51 =          5
52 =         11
53 =         55
54 =        121
55 =        5A5
56 =       1331
57 =       5FF5
58 =      14641
5A =     15AA51
5C =    16FLF61

Tetszőleges n szám palindrom minden olyan b alapú számrendszerben, ahol b ≥ n + 1, (egyjegyű) és az n‒1 alapú számrendszerben (11). Azokat a számokat, amik nem palindromok a 2 ≤; b < n ‒ 1 alapú számrendszerek egyikében sem, szigorúan nem palindrom számnak nevezik.

Repunitok, azaz csupa 1 számjegyekből álló számok négyzetre emelésével is lehet palindromszámokat kapni. Így például tízes számrendszerben:

1	×	1	=	1
11	×	11	=	121
111	×	111	=	12321
1111	×	1111	=	1234321
11111	×	11111	=	123454321
111111	×	111111	=	12345654321
1111111	×	1111111	=	1234567654321
11111111	×	11111111	=	123456787654321
111111111	×	111111111	=	12345678987654321

Nagyobb alapú számrendszerben tovább lehet folytatni.

Egy hasonló tulajdonság az, amikor egy szám megfordul, ha átváltják egy másik számrendszerbe.

A következő táblázat felsorolja azokat a számokat, amikről ismert, hogy tízes számrendszerből egy másik számrendszerbe írva megfordulnak:

Alap	Tízes számrendszerben	Más számrendszerben
4	13	31
7	23	32
	46	64
	2.116	6.112
	15.226	62.251
9	445	544
313.725	527.313
3.454.446	6.444.543
12	315.231	132.513
13	43	34
	86	68
	774	477
16 (Hexadezimal)	53	35
	371	173
	5141	1415
	99.481	18.499
19	21	12
	42	24
	63	36
	84	48
	441	114
	882	288
	7.721	1.277
	9.471	1.749
21	551	155
	912	219
22	73	37
	511	115
25	83	38
28	31	13
	62	26
	93	39
	961	169
37	41	14
	82	28
46	51	15
55	61	16
64	71	17
73	81	18
82	91	19

Lychrel-sejtés

A Lychrel-sejtés egy egyszerűnek látszó probléma. Veszünk egy kiindulási számot. Ezt összeadjuk a fordítottjával. Ezt addig ismételjük, amíg palindromszámot nem kapunk. Ez a Lychrel-algoritmus. A sejtés az, hogy bármely kezdőértékkel indulva az algoritmus véget ér. (Pl. 57-re 2 iteráció után véget ér: 57+75=132, 132+231=363.)

Vannak számok, amelyekre az algoritmus sokáig fut, mielőtt véget ér. Ilyen például a 196, amely egymilliárd iteráció után sem ad palindromszámot. Azok a számok, amelyekre az algoritmus bizonyítottan nem áll meg, a Lychrel-számok.

Elnevezésük más nyelveken

A spanyol capicúa szó katalán eredetű, amiben a "cap" szó fejet, a "cúa" farkat jelent. Az "i" (és) szócska összekapcsolja a kettőt. Ezt a szót a spanyolból átvette a portugál is, és az egész spanyol világ, és a köznyelvben többnyire ezt, és nem a palindrom szót használják.

Jegyzetek

1. Az eredeti angol nyelvű szövegben a en:recreational mathematics kifejezéssel éltek.

Források

• Malcolm E. Lines: A Number for Your Thoughts: Facts and Speculations about Number from Euclid to the latest Computers: CRC Press 1986, ISBN 0852744951, S. 61 (Limited Online-Version (Google Books))
• Weisstein, Eric W.: Palindromic Number (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Jason Doucette - 196 Palindrome Quest / Most Delayed Palindromic Number
• 196 and Other Lychrel Numbers
• On General Palindromic Numbers at MathPages
• Palindromic Numbers to 100,000 from Ask Dr. Math
• Palindromszámok a alapú számrendszerben
• Palindromszámok
• Játék az eggyel

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Palindromic number című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap