From Wikipedia, the free encyclopedia
A palindromszám vagy számpalindrom olyan számot (szűken értelmezve tízes számrendszerbeli természetes számot) jelent, amelynek számjegyeit fordított sorrendben írva az eredeti számot kapjuk vissza. Ilyen szimmetrikus szám például a 16461. Maga a palindrom (régiesebb elnevezéssel palindróma) kifejezés általános értelemben a szójátékoknak, azon belül is az anagrammáknak egy fajtáját jelöli. Ilyen szó például a rotor, amely szó visszafelé olvasva is ugyanaz.
Az első néhány palindromszám (tízes számrendszerben):
A palindromszámok nagy figyelmet kapnak egyes matematikai feladványokban.[1] Jellemzőek lehetnek például az olyan problémafelvetések, amelynek során olyan számok keresése a cél, amelyek egyrészt valamely jellegzetes, meghatározott tulajdonsággal bírnak és palindromok. Például:
Buckminster Fuller a Szinergetika című könyvében a palindromszámokat – Az Ezeregyéjszaka meséi című gyűjteményben szereplő mesemondó lány után – Seherezádé-számoknak nevezi.
Könnyen belátható, hogy bármely palindromszám középső (páros számú számjegyből álló palindromszám esetén: középső kettő) számjegyének tetszőleges számú megismétlésével kapott szám szintén palindromszám. Például: 101, 1001, 10001, …
Az egyjegyű számok és az azonos számjegyekből álló számok palindromok. Bármely egész alapú számrendszerben végtelen sok palindromszám van, mert az azonos számjegyekből álló számok minden számrendszerben végtelen sorozatot alkotnak. Ilyenek például a repunitok, amiknek minden jegye 1. Az első néhány repunit 1, 11, 111, …
Habár többnyire tízes számrendszerben tekintik a palindromszámokat, a palindromtulajdonság bármely egész alapú számrendszerben felírt természetes számra is alkalmazható.
Tekintsük a b alapú számrendszerben felírt n > 0 számot, ahol is k+1 jegyű, és jegyei az ai számok:
ahol is 0 ≤ ai < b minden i-re, és ak ≠ 0. Az n szám palindrom akkor és csak akkor, ha ai = ak‒i minden i-re.
A 0 definíció szerint bármely számrendszerben palindromszám.
Egy másik, az előzővel ekvivalens definíció: Legyen rögzítve a tetszőleges b alap. Az n szám palindrom a b alapú számrendszerben, ha:
A második ekvivalens definíció szerint minden egyjegyű szám palindrom. A kétjegyű palindromok száma 9:
A háromjegyű palindromok száma 90; a szorzatszabállyal az első jegy kilencféle lehet; ez meghatározza a harmadik jegyet. A második jegy az elsőtől függetlenül választható, és ez tízzel szorozza meg a lehetőségek számát:
Négyjegyű palindrom is 90 van, mert az első két számjegy meghatározza a másik két számjegyet is:
így 199 palindromszám kisebb, mint 104.
105-ig 1099 létezik, és a többi 10n hatványra:
A következő táblázatban számelméleti tulajdonságok szerint van listázva a palindromszámok száma:
101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 1010 | |
n természetes szám | 10 | 19 | 109 | 199 | 1099 | 1999 | 10999 | 19999 | 109999 | 199999 |
n páros | 5 | 9 | 49 | 89 | 489 | 889 | 4889 | 8889 | 48889 | 88889 |
n páratlan | 5 | 10 | 60 | 110 | 610 | 1110 | 6110 | 11110 | 61110 | 111110 |
n négyzetszám | 4 | 7 | 14 | 15 | 20 | 31 | ||||
n köbszám | 3 | 4 | 5 | 7 | 8 | |||||
n prím | 4 | 5 | 20 | 113 | 781 | 5953 | ||||
n négyzetmentes | 6 | 12 | 67 | 120 | 675 | 1200 | 6821 | 12160 | + | + |
n nem négyzetmentes (μ(n)=0) | 4 | 7 | 42 | 79 | 424 | 799 | 4178 | 7839 | + | + |
n prímnégyzet | 2 | 3 | 5 | |||||||
n páros sok különböző prím szorzata (μ(n)=1) | 2 | 6 | 35 | 56 | 324 | 583 | 3383 | 6093 | + | + |
n páratlan számú különböző prím szorzata (μ(n)=-1) | 4 | 6 | 32 | 64 | 351 | 617 | 3438 | 6067 | + | + |
n páros, és páratlan sok prímtényezője van | 1 | 2 | 9 | 21 | 100 | 180 | 1010 | 6067 | + | + |
n páros, és páratlan sok különböző prímtényezője van | 3 | 4 | 21 | 49 | 268 | 482 | 2486 | 4452 | + | + |
n páratlan, és páratlan számú prímtényezője van | 3 | 4 | 23 | 43 | 251 | 437 | 2428 | 4315 | + | + |
n páratlan, és páratlan számú különböző prímtényezője van | 4 | 5 | 28 | 56 | 317 | 566 | 3070 | 5607 | + | + |
n páros, négyzetmentes, és előáll páros sok prím szorzataként | 1 | 2 | 11 | 15 | 98 | 171 | 991 | 1782 | + | + |
n páratlan, négyzetmentes, és páros számú prím szorzata | 1 | 4 | 24 | 41 | 226 | + | + | + | + | + |
n páratlan, és két prím szorzata | 1 | 4 | 25 | 39 | 205 | 303 | 1768 | 2403 | + | + |
n páros, és két prím szorzata | 2 | 3 | 11 | 64 | 413 | + | + | |||
n páros, és három prím szorzatára bomlik | 1 | 3 | 14 | 24 | 122 | 179 | 1056 | + | + | + |
n páros, és három különböző prím szorzata | 0 | 1 | 18 | 44 | 250 | 390 | 2001 | + | + | + |
n páratlan, és három prímtényező szorzata | 0 | 1 | 12 | 34 | 173 | 348 | 1762 | + | + | + |
n Carmichael-szám | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
n, aminek osztóösszeg-függvénye palindrom | 6 | 10 | 47 | 114 | 688 | 1417 | 5683 | + | + | + |
Palindromszámok más számrendszerben is értelmezhetők. Például a kettes számrendszerben:
tízes számrendszerbeli alakban 0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, … (A006995 sorozat az OEIS-ben). A Mersenne-prímek a kettes számrendszerbeli palindrom prímszámok részsorozatát alkotják.
Általában az egyik számrendszerben palindrom szám nem palindrom egy másik számrendszerben; például 1646110 = 404D16. Az alsó index a számrendszereket jelöli. Vannak olyan számok, amik több számrendszerben is palindromok. Ilyen például a 10510: 12214< = 1518 = 7714 = 5520 = 3334.
Az 1991 tízes és tizenhatos számrendszerben is palindrom: 7C7.
A tizennyolcas számrendszerben hét néhány hatványa palindrom:
73 = 111 74 = 777 76 = 12321 79 = 1367631
A huszonnégyes számrendszerben 5 első nyolc hatványa palindrom:
51 = 5 52 = 11 53 = 55 54 = 121 55 = 5A5 56 = 1331 57 = 5FF5 58 = 14641 5A = 15AA51 5C = 16FLF61
Tetszőleges n szám palindrom minden olyan b alapú számrendszerben, ahol b ≥ n + 1, (egyjegyű) és az n‒1 alapú számrendszerben (11). Azokat a számokat, amik nem palindromok a 2 ≤; b < n ‒ 1 alapú számrendszerek egyikében sem, szigorúan nem palindrom számnak nevezik.
Repunitok, azaz csupa 1 számjegyekből álló számok négyzetre emelésével is lehet palindromszámokat kapni. Így például tízes számrendszerben:
1 | × | 1 | = | 1 |
11 | × | 11 | = | 121 |
111 | × | 111 | = | 12321 |
1111 | × | 1111 | = | 1234321 |
11111 | × | 11111 | = | 123454321 |
111111 | × | 111111 | = | 12345654321 |
1111111 | × | 1111111 | = | 1234567654321 |
11111111 | × | 11111111 | = | 123456787654321 |
111111111 | × | 111111111 | = | 12345678987654321 |
Nagyobb alapú számrendszerben tovább lehet folytatni.
Egy hasonló tulajdonság az, amikor egy szám megfordul, ha átváltják egy másik számrendszerbe.
A következő táblázat felsorolja azokat a számokat, amikről ismert, hogy tízes számrendszerből egy másik számrendszerbe írva megfordulnak:
Alap | Tízes számrendszerben | Más számrendszerben |
---|---|---|
4 | 13 | 31 |
7 | 23 | 32 |
46 | 64 | |
2.116 | 6.112 | |
15.226 | 62.251 | |
9 | 445 | 544 |
313.725 | 527.313 | |
3.454.446 | 6.444.543 | |
12 | 315.231 | 132.513 |
13 | 43 | 34 |
86 | 68 | |
774 | 477 | |
16 (Hexadezimal) | 53 | 35 |
371 | 173 | |
5141 | 1415 | |
99.481 | 18.499 | |
19 | 21 | 12 |
42 | 24 | |
63 | 36 | |
84 | 48 | |
441 | 114 | |
882 | 288 | |
7.721 | 1.277 | |
9.471 | 1.749 | |
21 | 551 | 155 |
912 | 219 | |
22 | 73 | 37 |
511 | 115 | |
25 | 83 | 38 |
28 | 31 | 13 |
62 | 26 | |
93 | 39 | |
961 | 169 | |
37 | 41 | 14 |
82 | 28 | |
46 | 51 | 15 |
55 | 61 | 16 |
64 | 71 | 17 |
73 | 81 | 18 |
82 | 91 | 19 |
A Lychrel-sejtés egy egyszerűnek látszó probléma. Veszünk egy kiindulási számot. Ezt összeadjuk a fordítottjával. Ezt addig ismételjük, amíg palindromszámot nem kapunk. Ez a Lychrel-algoritmus. A sejtés az, hogy bármely kezdőértékkel indulva az algoritmus véget ér. (Pl. 57-re 2 iteráció után véget ér: 57+75=132, 132+231=363.)
Vannak számok, amelyekre az algoritmus sokáig fut, mielőtt véget ér. Ilyen például a 196, amely egymilliárd iteráció után sem ad palindromszámot. Azok a számok, amelyekre az algoritmus bizonyítottan nem áll meg, a Lychrel-számok.
A spanyol capicúa szó katalán eredetű, amiben a "cap" szó fejet, a "cúa" farkat jelent. Az "i" (és) szócska összekapcsolja a kettőt. Ezt a szót a spanyolból átvette a portugál is, és az egész spanyol világ, és a köznyelvben többnyire ezt, és nem a palindrom szót használják.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.