HU
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms
Lineáris egyenletrendszer

Lineáris egyenletrendszer

From Wikipedia, the free encyclopedia

Lineáris egyenletrendszer
PéldaVektoriális alakMátrixos alakA lineáris egyenletrendszer kibővített mátrixaMegoldása2×2-es esetbenHatározatlan lineáris egyenletrendszerek

A lineáris egyenletrendszer olyan többismeretlenes egyenletrendszer, ahol minden ismeretlen elsőfokon (azaz első hatványon) szerepel.

Thumb
Egy lineáris egyenletrendszer, ahol a három egyenlet három síkot határoz meg. A metszéspont a megoldás.
  • Egy m egyenletből álló és n ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszer általános felírása:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 {\displaystyle a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}} {\displaystyle a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}}

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 {\displaystyle a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}=b_{2}} {\displaystyle a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}=b_{2}}

⋮ {\displaystyle \vdots } {\displaystyle \vdots }

a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m {\displaystyle a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{m}} {\displaystyle a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{m}}
Itt az x-ek az ismeretlenek, az a-k az ismeretlenek együtthatói, és a b-k az egyenletek konstansai.
  • Egy három egyenletből álló háromismeretlenes lineáris egyenletrendszer konkrét számokkal:
3 x + 2 y − z = 1 2 x − 2 y + 4 z = − 2 − x + 1 2 y − z = 0 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}}
A keresett megoldások x, y és z ismeretlenek azon összetartozó értékei, amelyek együttesen egyszerre igazzá teszik mindhárom fenti egyenlőséget.

Az m darab egyenletet összevonhatjuk egy egyenletté, ha az együtthatók oszlopaiból m dimenziós vektorokat képzünk:

x 1 ( a 11 a 21 ⋮ a m 1 ) + x 2 ( a 12 a 22 ⋮ a m 2 ) + ⋯ + x n ( a 1 n a 2 n ⋮ a m n ) = ( b 1 b 2 ⋮ b m ) {\displaystyle x_{1}{\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}}+x_{2}{\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}}+\cdots +x_{n}{\begin{pmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}} {\displaystyle x_{1}{\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}}+x_{2}{\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}}+\cdots +x_{n}{\begin{pmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}}

A feladat tehát úgy is értelmezhető, hogy a lineáris egyenletrendszer együtthatóiból álló oszlopvektorok olyan lineáris kombinációját keressük, amely a

( b 1 b 2 ⋮ b m ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\\\end{pmatrix}}} {\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\\\end{pmatrix}}} vektorral megegyezik.

A lineáris egyenletrendszer mátrixa egy olyan m×n-es mátrix, amely a lineáris egyenletrendszer együtthatóit tartalmazza. Az előbbi egyenletrendszer mátrixa:

A = [ a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 … a m n ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}} {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}}

Ha bevezetjük a b → = ( b 1 b 2 ⋮ b m ) {\displaystyle {\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\\\end{pmatrix}}} {\displaystyle {\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\\\end{pmatrix}}} és az x → = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) {\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\\\end{pmatrix}}} {\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\\\end{pmatrix}}} jelöléseket, akkor a lineáris egyenletrendszer a következő rövid alakban írható fel:

A x → = b → . {\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}.} {\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}.}

Az A mátrix és az x → {\displaystyle {\vec {x}}} {\displaystyle {\vec {x}}} vektor szorzata formálisan éppen a kívánt egyenleteket adja.

A lineáris egyenletrendszer kibővített mátrixa olyan m×(n+1)-es mátrix, amely a lineáris egyenletrendszer együtthatói mellett n+1-edik oszlopként az egyenletek konstansait is tartalmazza. Például az előző egyenletrendszer kibővített mátrixa:

K = [ a 11 a 12 … a 1 n b 1 a 21 a 22 … a 2 n b 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 … a m n b m ] {\displaystyle K={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mn}&b_{m}\end{bmatrix}}} {\displaystyle K={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mn}&b_{m}\end{bmatrix}}}

A kibővített mátrixot a lineáris egyenletrendszerek megoldhatóságát vizsgáló Kronecker–Capelli-tétel alkalmazása során használjuk.

A lineáris egyenletrendszerek megoldása a Gauss-eliminációval történik. Az

A x → = b → {\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}} {\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}}

felírásból következik, hogy ha az A mátrix invertálható, akkor az egyenletrendszer megoldása

x → = A − 1 b → . {\displaystyle {\vec {x}}=A^{-1}{\vec {b}}.} {\displaystyle {\vec {x}}=A^{-1}{\vec {b}}.}

2×2-es esetben

Bővebben: Cramer-szabály

Speciálisan az

a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 {\displaystyle a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=b_{1}} {\displaystyle a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=b_{1}}
a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 {\displaystyle a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}=b_{2}} {\displaystyle a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}=b_{2}}

lineáris egyenletrendszer megoldása a következő:

x 1 = | b 1 a 12 b 2 a 22 | | a 11 a 12 a 21 a 22 | = b 1 a 22 − b 2 a 12 a 11 a 22 − a 21 a 12 {\displaystyle x_{1}={\frac {\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}\\b_{2}&a_{22}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{vmatrix}}}={\frac {b_{1}a_{22}-b_{2}a_{12}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}}} {\displaystyle x_{1}={\frac {\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}\\b_{2}&a_{22}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{vmatrix}}}={\frac {b_{1}a_{22}-b_{2}a_{12}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}}}

és

x 2 = | a 11 b 1 a 21 b 2 | | a 11 a 12 a 21 a 22 | = a 11 b 2 − a 21 b 1 a 11 a 22 − a 21 a 12 , {\displaystyle x_{2}={\frac {\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}\\a_{21}&b_{2}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{vmatrix}}}={\frac {a_{11}b_{2}-a_{21}b_{1}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}},} {\displaystyle x_{2}={\frac {\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}\\a_{21}&b_{2}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{vmatrix}}}={\frac {a_{11}b_{2}-a_{21}b_{1}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}},}

ahol a | | a determinánsképzés jele.

Vannak esetek, amikor az adott egyenletrendszer a fent említett Cramer-szabály alkalmazásával sem megoldható, de más ügyeskedések is elégtelen próbálkozások lennének, mint például a Gauss-elimináció vagy akár a Sarrus-szabály. Ilyen egyenletrendszerek azok, melyekben az ismeretlenek száma meghaladja az egyenletek számát, de az ismeretlenek száma csak annyival több, hogy egyik ismeretlen a másik (többi) segítségével meghatározható legyen. Ezeket parciálisan határozatlan egyenletrendszereknek nevezzük. Ebben az esetben alkalmazzuk az elemi bázistranszformációs módszert.

  • matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

Chrome
Wikiwand for Chrome
Edge
Wikiwand for Edge
Firefox
Wikiwand for Firefox

Példa

Vektoriális alak

Mátrixos alak

A lineáris egyenletrendszer kibővített mátrixa

Megoldása

Határozatlan lineáris egyenletrendszerek