Kommutatív algebra

A kommutatív algebra az algebra egy részterülete. Kommutatív gyűrűkkel és a felettük létező modulusokkal foglalkozik. Mind az algebrai számelmélet, mind az algebrai geometria alapvető módon épít a kommutatív algebra eredményeire. Utóbbiban a kommutatív algebra biztosítja az ún. sémák lokális vizsgálatának eszközeit.

Emmy Noether, a kommutatív algebra úttörő kutatója által E. Fischernek írt, Noether kommutatív algerbai munkájáról szóló levelezőlap

Fontos és közismert példák kommutatív gyűrűre a következők: polinomgyűrűk, algebrai egészek gyűrűi a racionális számok testbővítéseiben – speciálisan ezek közé tartozik a racionális egész számok ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ gyűrűje –, illetve a p-adikus egészek.^[1]

Az algebrai számelméletben egy számtest (a racionális számok ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ testének véges bővítése) algebrai egészeinek gyűrűje Dedekind-gyűrű. Ezek viselkedésének vizsgálata a kommutatív algebra fejlődésének egy fontos motiváló ereje. Emellett a kommutatív algebra számos fogalma megfeleltethető az algebrai geometriában megjelenő (gyakran általánosabb) fogalmaknak. Ez áll többek között a Krull-dimenzió, a primér felbontás, a reguláris gyűrű^[2], a Cohen–Macaulay-gyűrű^[3] illetve a Gorenstein-gyűrű^[4] fogalmára.

A nem feltétlenül kommutatív gyűrűk vizsgálatával a nemkommutatív algebra foglalkozik. Ez magában foglalja a gyűrűelméletet, a reprezentációelméletet, és a Banach-algebrák elméletét.

Számelméleti vonatkozások

A kommutatív algebra által vizsgált objektumok először feltehetően a számelméletben jelentek meg.^[5] Az alapvető felismerés abban állt, hogy ha ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-t egy polinom gyökeivel bővítjük, a kapott bővítés hasonlóságokat mutat ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-vel.

Ezeket a kutatásokat a nagy Fermat-sejtés is motiválta. A sejtés szerint az

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$

egyenletnek nincs a racionális egész számok között ${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,0)}$-tól különböző megoldása, ha ${\displaystyle n\geq 3}$. Az állítás könnyen redukálható arra az esetre, ha ${\displaystyle n=p}$ prímszám. Egy lehetséges útnak tűnt a bizonyítás felé az egyenlet bal oldalának faktorizálása: ha ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ helyett ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{p}]}$-ben dolgozunk, ahol ${\displaystyle \zeta _{n}}$ primitív ${\displaystyle p}$-edik egységgyök, akkor a bal oldal szorzattá bontható: ${\displaystyle x^{p}+y^{p}=\prod _{i=0}^{p-1}(x+\zeta _{p}^{i}y)=z^{p}}$. Így a bal és a jobb oldalon is egy ${\displaystyle p}$ tényezős szorzat szerepel. Ha most alkalmazhatnánk a számelmélet alaptételét ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{p}]}$-ben, akkor mindkét oldalt prímelemek szorzatára bonthatnánk, ami ellentmondáshoz vezethetne. A probléma viszont az, hogy a ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{p}]}$ gyűrű általában nem UFD, azaz nem igaz benne a számelmélet alaptétele.^[6]

Ez a megközelítés vezetett az ideál fogalmának Dedekind általi bevezetéséhez. A név ideális, azaz nem valódi elemekre utal.^[7] Az ideálok a gyűrűelemek általánosításainak tekinthetők annyiban, hogy minden gyűrűelem generál egy főideált; az alaptétel szempontjából ez nem vezet gondokhoz, hiszen a prímfelbontás amúgy is mindig csak egységek erejéig egyértelmű. Dedekind sikeresen meghatározta azokat a gyűrűket, amikben az ideálok egyértelműen felírhatók prímideálok szorzataként: ezek a Dedekind-gyűrűk.

Az ideálok bevezetése önmagában nem volt elegendő a Fermat-tétel bizonyításához. Ugyanakkor ezeken keresztül Kummer sikeresen igazolta a tételt reguláris prímekre, azaz olyan ${\displaystyle p}$-kre, amik nem osztják a ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})}$ test osztályszámát.^[8] (37, 59 és 67 kivételével minden 100 alatti prím reguláris.)

A gyűrűbővítések egy másik útját Kronecker alapozta meg: bevezette a polinomgyűrű fogalmát, és egy ${\displaystyle K}$ test feletti ${\displaystyle f(X)}$ polinom gyökeivel való bővítést ${\displaystyle K[X]/(f(X))}$ alakban értelmezett. Kronecker továbbá definiálta a Dedekind-féle ideálok megfelelőit ebben a felállásban. Egyértelmű prímfelbontás ugyan nem létezik ebben az esetben, viszont egy gyengébb formája fennáll: ez a Lasker által bizonyított primér felbontás.^[9]

A két fent vázolt elméletet Noether helyezte közös alapokra, úttörő munkát végezve a kommutatív algebra modern megalapozásában.^[10]

Főbb eszközök és eredmények

Konvenció: a továbbiakban gyűrű alatt kommutatív egységelemes gyűrűt értünk.

Noether-gyűrűk

Bővebben: Noether-gyűrű

A Noether-gyűrűk mind a kommutatív, mind a nemkommutatív gyűrűelméletben alapvető fontosságúak. Egy Noether-gyűrű olyan gyűrű, amiben ideálok bármely nemüres halmazának van maximális eleme. Ezzel ekvivalens, hogy a gyűrű teljesíti a maximumfeltételt ideálokra. Ez alatt azt értjük, hogy ideálok bármely

${\displaystyle I_{1}\subseteq \cdots I_{k-1}\subseteq I_{k}\subseteq I_{k+1}\subseteq \cdots }$

lánca stabilizálódik, azaz létezik olyan n, hogy:

${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=\cdots }$

Egy kommutatív gyűrű továbbá akkor és csak akkor Noether, ha minden ideál végesen generált.^[11]

Lokalizáció

A lokalizáció az integritási tartományokra értelmezett hányadostest-fogalom általánosításának tekinthető. Heurisztikusan a lokalizálás során megengedjük a gyűrű bizonyos elemeivel való osztást, ez ugyanakkor a hányadostest-konstrukcióval szemben nem az összes nemzéró elem, hanem ezeknek csak egy részhalmaza lesz.

A formális definícióhoz először bevezetjük a multiplikatívan zárt részhalmaz fogalmát: ez az ${\displaystyle R}$ gyűrű egy olyan ${\displaystyle S\subseteq R}$ részhalmaza, ami tartalmazza a gyűrű egységelemét, és ha ${\displaystyle s,s'\in S}$, akkor ${\displaystyle ss'\in S}$.

Tekintsük a következő relációt az ${\displaystyle R\times S}$ halmazon: ${\displaystyle (r,s)\sim (r',s')}$ akkor és csak akkor, ha létezik olyan ${\displaystyle t\in S}$, hogy ${\displaystyle t(sr'-s'r)=0}$. Könnyen ellenőrizhető, hogy ez ekvivalenciareláció. Az ${\displaystyle R}$ gyűrű ${\displaystyle S}$-nél vett ${\displaystyle S^{-1}R}$ lokalizáltja ekkor az erre a relációra nézve vett ekvivalenciaosztályok halmaza; a továbbiakban az ${\displaystyle (r,s)}$ elem osztályát ${\displaystyle r/s}$ jelöli. A lokalizálton az összeadást és a szorzást a következőképpen definiáljuk:

${\displaystyle {\frac {r}{s}}+{\frac {r'}{s'}}={\frac {rs'+r's}{ss'}}}$, ${\displaystyle {\frac {r}{s}}\cdot {\frac {r'}{s'}}={\frac {rr'}{ss'}}}$.

A kapott gyűrűn a zéruselem így ${\displaystyle 0/1}$, az egységelem ${\displaystyle 1/1}$ lesz.

Jegyezzük meg, hogy a „nevezők” ${\displaystyle S}$ halmazában megengedjük a zéróosztókat. Ha ${\displaystyle S}$ tartalmaz egy zéróosztót, akkor ${\displaystyle S^{-1}R=0}$. Ha ${\displaystyle S}$ nullosztómentes, akkor akkor ${\displaystyle R}$ beágyazható a lokalizáltba az

${\displaystyle R\hookrightarrow S^{-1}R,r\mapsto {\frac {r}{1}}}$

leképezéssel.

Ha ${\displaystyle S}$ az ${\displaystyle R}$ összes nemnullosztójából áll, akkor a lokalizáltat az ${\displaystyle R}$ teljes hányadosgyűrűjének nevezzük.^[12]

Fontos speciális eset, amikor ${\displaystyle S=R-{\mathfrak {p}}}$ egy ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ prímideál komplementere. Ekkor a prímideál definíciója révén multiplikatív halmazt kapunk. Ilyenkor a lokalizált szokásos jelölése ${\displaystyle S^{-1}R=R_{\mathfrak {p}}}$.

A lokalizáció fogalma kiterjed a gyűrű fölötti modulusokra is: ha ${\displaystyle M}$ egy ${\displaystyle R}$-modulus, akkor analóg módon definiálható az ${\displaystyle S^{-1}M}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$-modulus.^[13]

A lokalizáció néhány fontos tulajdonsága:

• A lokalizáció rendelkezik a következő univerzális tulajdonsággal: bármely ${\displaystyle R}$-en értelmezett gyűrűhomomorfizmus, amely ${\displaystyle S}$ elemeit egységekbe viszi, keresztülfaktorizál az ${\displaystyle S^{-1}R}$ lokalizálton.^[14]
• A lokalizáció egzakt funktor.^[15]
• A lokalizáció tartja a faktorstruktúrát.^[16]
• A lokalizált ideáljai az eredeti gyűrű ideáljainak lokalizáltjai.^[17]

Az elnevezés az algebrai geometriával kapcsolatos; itt a lokális gyűrűk algebrai varietások egy adott pontnál vett, azaz helyi (lokális) vizsgálatakor kerülnek elő.

Hilbert bázistétele

Hilbert bázistétele szerint ha ${\displaystyle R}$ Noether-gyűrű, akkor az ${\displaystyle R}$ feletti egyváltozós polinomok ${\displaystyle R[X]}$ gyűrűje is Noether-gyűrű. A tételből indukció útján következik, hogy ha ${\displaystyle R}$ Noether-gyűrű, akkor ${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ is az.

A tétel azon speciális esetét, amikor az alapgyűrű test, David Hilbert bizonyította először.^[18] Az elnevezésben a bázis szó az ideálok végesen generáltságára utal, ami ekvivalens a Noether-tulajdonsággal.

A bázistétel következménye, hogy Noether-gyűrű felett végesen generált algebra maga is Noether-gyűrű.^[19]

A tétel szerepe az algebrai geometriában a következő. Legyen ${\displaystyle k}$ egy test, legyen adott ${\displaystyle k}$ feletti ${\displaystyle n}$-változós polinomok egy

${\displaystyle \{p_{i}(X_{1},\ldots ,X_{n}):i\in I\}\subseteq k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$

halmaza, és tekintsük ${\displaystyle k^{n}}$ azon ${\displaystyle V}$ részhalmazát, amelyen valamennyi ${\displaystyle p_{i}}$ eltűnik, azaz

${\displaystyle V=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in k^{n}:p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\,\forall i\in I\}}$.

Ekkor ${\displaystyle I}$-nek van olyan véges ${\displaystyle I'}$ részhalmaza, hogy

${\displaystyle V=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in k^{n}:p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\,\forall i\in I'\}}$,

azaz ${\displaystyle V}$ előáll csupán véges sok polinom közös zérushelyeként is. Ez a klasszikus algebrai geometria szempontjából azt jelenti, hogy bármely ${\displaystyle k}$ feletti algebrai varietást leírható véges sok polinom közös zérushelyeként.

Zariski-topológia

Legyen ${\displaystyle R}$ egy gyűrű (a szakasz eleji konvenció továbbra is érvényben van). Ekkor az ${\displaystyle R}$ spektruma alatt a prímideálok halmazát értjük, és ezt ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$-rel jelöljük. Ha ${\displaystyle I\subseteq R}$ egy részhalmaz (nem feltétlenül ideál), akkor legyen

${\displaystyle \mathrm {V} (I)=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R:I\subseteq {\mathfrak {p}}\}}$.

Tekintsük ezeket a halmazokat az összes ${\displaystyle I\subseteq R}$ részhalmazra, és definiáljuk a spektrumon a Zariski-topológiát mint azt a topológiát, amiben pontosan ezek a ${\displaystyle \mathrm {V} (I)}$ halmazok a zárt részhalmazok.^[20] Ekkor ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ egy kontravariáns funktor a gyűrűk kategóriájából a topologikus terek kategóriájába.^[21] Az így definiált ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ topologikus teret az algebrai geometriában affin sémának nevezik.

A klasszikus algebrai geometriában a Zariski-topológia fogalma egy másik értelemben is használatos. Legyen ${\displaystyle k}$ egy test, és legyen ${\displaystyle I\subseteq k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle n}$-változós polinomok egy halmaza (nem feltétlenül ideál a polinomgyűrűben). Ekkor a ${\displaystyle k^{n}}$ affin téren a Zariski-topológia zárt halmazai pontosan a

${\displaystyle V(I)=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in k^{n}:\forall f\in I:f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\}}$, ${\displaystyle I\subseteq R}$

halmazok, azaz azon pontok halmazai, amik valamely ${\displaystyle I\subseteq R}$ részhalmazban elemeinek közös zérushelyeiként állnak elő.

A modern algebrai geometria számára az előbbi, a spektrumon alapuló megközelítés az alapvető; a gyűrűk spektrumaként előálló affin sémák a sémaelmélet alapkövei, az általános sémákat az affin sémák ún. összeragasztásával kapjuk. A fenti ${\displaystyle k^{n}}$ ${\displaystyle n}$-dimenziós affin tér megfelelője ekkor a ${\displaystyle \operatorname {Spec} R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ spektrum. A Hilbert-féle gyenge Nullstellensatz szerint a két fogalom egybeesik, ha ${\displaystyle k}$ algebrailag zárt test (azaz nincsen nemtriviális algebrai bővítése) és ${\displaystyle R=k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$.

Az algebrai geometriai megközelítésben tehát a topológiai pontok szerepét a prímidálok veszik át, a fenti ${\displaystyle \mathrm {V} }$ és ${\displaystyle V}$ operátorok közti kapcsolat alapján pedig gondolhatunk a gyűrű elemeire mint függvényekre.^[22]

Nullstellensatz

Nullstellensatz név alatt több különböző, egymással összefüggő tételt lehet érteni, és a szakirodalomban a megnevezések nem teljesen egységesek. A következőkben az affin Nullstellensatz bizonyos variánsairól lesz szó; emellett az algebrai geometriában létezik még projektív illetve analitikus Nullstellensatz is. A Nullstellensatz szó németül zérushelytételt jelent.

Gyenge Nullstellensatz: Legyen ${\displaystyle k}$ algebrailag zárt test. Ekkor a ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ gyűrű maximális ideáljai pontosan az ${\displaystyle (X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})}$ alakú ideálok, ahol ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in k}$.^[23]

Nullstellensatz vagy Zariski-lemma: Ha ${\displaystyle k}$ egy test, akkor ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ bármely maximális ideáljának maradékteste véges bővítése ${\displaystyle k}$-nak.^[24]

Egy másik, szintén Nullstellensatznak nevezett tétel tartalmazásfordító bijektív (Galois-)kapcsolatot ír le az affin tér algebrai részhalmazai és a polinomgyűrű radikálideáljai között. Ennek leírásához először vezessük be az ${\displaystyle \mathrm {I} }$ operátort: legyen ${\displaystyle R}$ gyűrű, ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {Spec} (R)}$ egy részhalmaz. Ekkor

${\displaystyle \mathrm {I} (S)=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in S}{\mathfrak {p}}}$

Intuitíve az ${\displaystyle \mathrm {I} (S)}$ halmaz az ${\displaystyle S}$-en eltűnő függvények halmazának felel meg. Könnyen ellenőrizhető, hogy ${\displaystyle I(S)\subseteq R}$ egy ideál, ${\displaystyle \mathrm {I} }$ rendezésváltó, és ${\displaystyle \mathrm {I} (S)=\mathrm {I} ({\overline {S}})}$, ahol ${\displaystyle {\overline {S}}}$ az ${\displaystyle S}$ lezártját jelöli a Zariski-topológiában.^[25]

Szükségünk lesz még a radikál fogalmára. Legyen ${\displaystyle J\subseteq R}$ egy ideál; ekkor ${\displaystyle J}$ radikálja azon gyűrűelemekből áll, amelynek valamely hatványa ${\displaystyle J}$-ben van.

${\displaystyle {\sqrt {J}}=\{r\in R:\exists n\geq 0,r^{n}\in J\}}$

Nyilvánvaló, hogy ${\displaystyle J\subseteq {\sqrt {J}}}$. Egy ${\displaystyle J}$ ideált radikálideálnak nevezünk, ha ${\displaystyle J={\sqrt {J}}}$.

Nullstellensatz: a ${\displaystyle \mathrm {V} }$ és ${\displaystyle \mathrm {I} }$ operátorok tartalmazásfordító bijekciót adnak meg a spektrum zárt részhalmazai és a gyűrű radikálideáljai között. Speciálisan ${\displaystyle \mathrm {V} (\mathrm {I} (S))={\overline {S}}}$, ${\displaystyle \mathrm {I} (\mathrm {V} (J))={\sqrt {J}}}$.^[26]

Krull-dimenzió

A dimenzióelmélet a kommutatív algebra azon részterülete, ami gyűrűk (és modulusok) dimenziófogalmaival foglalkozik. Több különböző dimenziófogalom is létezik, és ezek általában nem esnek egybe.

A Krull-dimenziót a következőképpen definiáljuk. Legyen ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ az ${\displaystyle R}$ gyűrű egy prímideálja. Ekkor a ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ magassága a

${\displaystyle 0={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}}$

láncok ${\displaystyle n}$ hosszának szuprémuma, ahol ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}}$ prímideálok. Az ${\displaystyle R}$ gyűrű Krull-dimenziója a prímideáljainak magasságainak szuprémuma:

${\displaystyle \dim R=\sup\{\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}}):{\mathfrak {p}}\in \operatorname {SpecR} \}}$,

ahol Spec(R) az R spektruma, azaz a prímideálok halmaza. Mivel minden maximális ideál prím, ez megegyezik a maximális ideálok magasságainak szuprémumával. A definíció egyenes következménye, hogy egy prímideál magassága egyenlő a nála vett lokalizáció dimenziójával:

${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})=\dim R_{\mathfrak {p}}}$.^[27]

Hasonló módon definiálható egy topologikus tér Krull-dimenziója is, ekkor prímideálok helyett irreducibilis zárt halmazok láncaival dolgozunk.^[28] Ez adja a kapcsolatot az algebrai geometria dimenziófogalma felé: egy gyűrű spektrumán a Zariski-topológiára nézve vett topologikus Krull-dimenzió megegyezik a gyűrű fent definiált algebrai Krull-dimenziójával.

A Noether-gyűrűk viszonylag jól viselkednek a Krull-dimenzióra nézve: ennek alapját Krull főideáltétele és ennek következménye, Krull magasságtétele jelentik.

Krull főideáltétele a következőt állítja: legyen ${\displaystyle R}$ Noether-gyűrű, ${\displaystyle r\in R}$ a gyűrű egy eleme, és legyen ${\displaystyle r\in {\mathfrak {p}}\subset R}$ egy tartalmazásra nézve minimális prímideál. Ekkor ${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})\leq 1}$. Más szavakkal, egy főideál feletti minimális prímideál legfeljebb egy magasságú.

Krull magasságtétele a főideáltétel induktív következménye, és egyben annak általánosítása nem főideálokra. Legyen ${\displaystyle R}$ Noether-gyűrű, legyenek ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}\in R}$, és legyen ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ egy ezeket tartalmazó minimális prímideál. Ekkor a tétel szerint ${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})\leq n}$.

Mivel Noether-gyűrűben minden ideál végesen generált, a magasságtételből következik, hogy minden prímideál magassága véges. Az ugyanakkor lehetséges, hogy ezek a magasságok nem korlátosak, és így a gyűrű Krull-dimenziója végtelen; erre először Nagata adott példát.^[29]

Primér felbontás

Noether-gyűrűkben minden ideál felírható bizonyos speciális ideálok – az ún. primér ideálok – metszeteként.

Legyen ${\displaystyle I\subseteq R}$ egy ideál. Ekkor az ${\displaystyle I}$ radikálja

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\{r\in R:\exists n\geq 0:r^{n}\in I\}}$,

azaz azon gyűrűelemek halmaza, amiknek valamely hatványa ${\displaystyle I}$-ben van. Könnyen ellenőrizhető, hogy ${\displaystyle {\sqrt {I}}\supseteq I}$, és ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ideál ${\displaystyle R}$-ben.

Egy ${\displaystyle I\subseteq R}$ ideált primér ideálnak nevezünk, ha teljesül a következő:

ha ${\displaystyle a,b\in R}$ és ${\displaystyle ab\in R}$, akkor ${\displaystyle a\in I}$ vagy ${\displaystyle b\in {\sqrt {I}}}$.

Ez a prímideál definíciójának gyengítése, következésképpen minden prímideál primér. Ennek a részleges megfordítása is igaz: ha ${\displaystyle I}$ primér, akkor ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ prímideál.^[30] Noether-gyűrűben a metszetirreducibilis ideálok (azon ideálok, amik nem állnak elő két nagyobb ideál metszeteként), primér ideálok.^[31] Ez azt sugallja, hogy a primér ideálok alkalmasak lehetnek arra, hogy a gyűrű ideáljainak metszetként való előállításának alkotóköveiként szolgáljanak.

Legyen ${\displaystyle I\subseteq R}$ egy ideál, és tegyük fel, hogy ${\displaystyle I}$ előáll véges sok primér ideál, mondjuk ${\displaystyle Q_{1},\ldots ,Q_{m}}$ metszeteként:

${\displaystyle I=\bigcap _{i=1}^{m}Q_{i}}$.

Egy ilyen felírást irredundáns felbontásnak nevezünk, ha a metszetből semelyik ${\displaystyle Q_{i}}$ nem hagyható el, és ${\displaystyle {\sqrt {Q_{i}}}\neq {\sqrt {Q_{j}}}}$, ha ${\displaystyle i\neq j}$.

A Lasker–Noether-tétel szerint egy ${\displaystyle R}$ Noether-gyűrű bármely ${\displaystyle I}$ ideáljának van irredundáns felbontása primér ideálok metszeteként, továbbá ${\displaystyle m}$ értéke illetve a ${\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}:1\leq i\leq n\}}$ halmaz minden ilyen felbontásnál azonos.^[32]

Az algebrai geometria szempontjából a tétel a következő módon írható le. Legyen ${\displaystyle R=k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ a ${\displaystyle k}$ test feletti ${\displaystyle n}$ változós polinomok gyűrűje. Ekkor ${\displaystyle R}$ Noether-gyűrű Hilbert bázistétele értelmében. Legyen ${\displaystyle I\subseteq R}$ egy ideál, és tekintsük az ${\displaystyle I}$-beli polinomok közös zérushelyeit ${\displaystyle k^{n}}$-ben:

${\displaystyle V(I)=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in k^{n}:\forall f\in I:f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\}}$.

A ${\displaystyle k^{n}}$ ilyen módon előálló részhalmazait affin algebrai halmazoknak nevezzük. Legyen ${\displaystyle I=\bigcap _{i=1}^{m}Q_{i}}$ egy irredundáns primér felbontás; ekkor ${\displaystyle V(I)}$ felbomlik a ${\displaystyle V(Q_{i})}$ affin algebrai halmazok uniójára:

${\displaystyle V(I)=\bigcap _{i=1}^{m}V(Q_{i})}$.

A ${\displaystyle V(Q_{i})}$ halmazok irreducibilisek a Zariski-topológiában, azaz nem írhatók fel affin algebrai halmazok nemtriviális uniójaként.

Lásd még

• Homologikus algebra
• K-elmélet

Jegyzetek

1. Atiyah–Macdonald Chapter 1
2. Stacks 02IS
3. Stacks 02IO
4. Stacks 0AWW
5. Eisenbud §1.1, p.21
6. Zábrádi §3.11
7. Eisenbud §1.1, p.22
8. Zábrádi §3.12.1
9. Eisenbud §1.1, p.23
10. Eisenbud p.23
11. Goldhaber–Ehrlich §7.1
12. Stacks 02C5 (3)
13. Stacks 07JZ
14. Stacks 00CP
15. Stacks 00CS
16. Stacks 02C8
17. Stacks 02C9
18. Hilbert
19. Eisenbud Corollary 1.3
20. Stacks 00E1
21. Stacks 00E2
22. Vakil §3.2
23. Vakil 3.2.4
24. Vakil 3.2.5
25. Vakil §3.7
26. Vakil 3.7.1
27. Stacks 00KD
28. Stacks 0054
29. Eisenbud Exercise 9.6.
30. Pelikán 10.1.3 Állítás
31. Pelikán
32. Pelikán 10.1.10 és 10.2.5 Tétel

Források

• ↑ Atiyah–Macdonald: Michael Atiyah – Ian G. Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Reading (Massachusetts): Addison-Wesley Publishing. 1969. ISBN 0-201-00361-9
• ↑ Eisenbud: David Eisenbud: Commutative Algebra: With a View Toward Algebraic Geometry. New York: Springer-Verlag. = Graduate Texts in Mathematics, 150. ISBN 978-0-387-94268-1
• ↑ Goldhaber–Ehrlich: Jacob K. Goldhaber – Gertrude Ehrlich: Algebra. London: The Macmillan Company. 1971.
• ↑ Hilbert:
• ↑ Pelikán: Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
• ↑ Stacks: A Stacks project szerzői: The Stacks project. stacks.math.columbia.edu (2021)
• ↑ Vakil: Ravi Vakil: The Rising Sea. (angolul) 2017.
• ↑ Zábrádi 2020: Zábrádi Gergely: Algebrai számelmélet jegyzet. (magyarul) 2020.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Commutative algebra című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Primary decomposition című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.