Hipergráf

A hipergráf vagy halmazrendszer a kombinatorika által vizsgált matematikai struktúrák egyike; elméletük a gráfelméletből vált le; mert a gráfok olyan általánosításainak tekinthetőek, ahol egy él kettőnél több csúcsot is összeköthet („hiperélek”). Az elnevezés bevezetésére Claude Berge francia kombinatorikaprofesszor tett javaslatot 1966-ban egy tihanyi matematikustalálkozón, és ő írta a hipergráfok elméletének első összefoglaló munkáit is.

Példa hipergráfra: a csúcshalmaz ${\displaystyle V=\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5},v_{6},v_{7}\}}$, az élhalmaz: ${\displaystyle E=\{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}}$ ${\displaystyle =\{\{v_{1},v_{2},v_{3}\},\{v_{2},v_{3}\},}$ ${\displaystyle \{v_{3},v_{5},v_{6}\},\{v_{4}\}\}}$.

Matematikailag egy hipergráf egy (V,E) páros, ahol V tetszőleges (általában, de nem szükségszerűen: véges) halmaz, E pedig a V részhalmazainak egy családja; bár ha pontosak akarnánk lenni, azt mondanánk, hogy egy hipergráf valójában ilyen párok egy ekvivalenciaosztálya az izomorfia nevű relációra nézve. A V elemeit (hiper)csúcsoknak, az E elemeit (hiper)éleknek is szokás nevezni.

A hipergráfok tulajdonképpen az incidenciastruktúrák közé tartoznak. Megfordítva, az incidenciastruktúrák is tekinthetők hipergráfoknak. Például minden hipergráfnak megvan az illeszkedési gráfja, és megfordítva. Hipergráf helyett használják a halmazrendszer és a halmazcsalád elnevezéseket is.

Az egyszerű hipergráf (az egyszerű gráf mintájára) olyan hipergráf, melyben egyik hiperél sem tartalmazza a másikat (két csúcsot legfeljebb egy hiperél köt össze).

Egy n-uniform hipergráf alatt olyan hipergráfot értünk, ahol minden hiperél n csúcsot köt össze. Így a sima gráfok voltaképpen 2-uniform hipergráfok.

Külső hivatkozások

• Planetmath.org oldala a hipergráfokról.
• R. L. Graham - M. Grötschel - Lovász L.: Handbook of combinatorics. MIT Press, 1995. ; 7. fejezet.
• Weisstein, Eric W.: Hipergráf (angol nyelven). Wolfram MathWorld