Az körüli hatványsor konvergenciasugara az a legnagyobb szám, amit -rel jelölve a hatványsor minden -re konvergens, amire . Vagyis a konvergenciasugár a konvergenciakör sugara. Ha a konvergencia a középpontra korlátozódik, akkor a hatványsort sehol sem konvergensnek tekintik; ha minden pontban konvergens, akkor mindenütt konvergens, a konvergenciasugár végtelen.
A konvergenciasugár a Cauchy-Hadamard-képlettel számítható:
Sok esetben a hatványsor egyszerűbben is számítható. Ugyanis, ha a hatványsor együtthatói között legfeljebb véges sok nulla van, akkor:
hogyha a határérték létezik.
A konvergencia fajtái és a konvergenciasugár kapcsolata:
- esetén a hatványsor abszolút konvergens
- ha , akkor divergens
- hogyha , akkor nem lehet semmit sem mondani a konvergenciáról
- ha pedig , akkor a hatványsor egyenletesen is konvergens minden -re, amire .
Deriválás és integrálás
Egy hatványsor mindig differenciálható konvergenciakörének belsejében, és deriváltja tagonkénti differenciálással adódik:
A hatványsor akárhányszor differenciálható, ezért az előbbi számolási módszer többszöri alkalmazásával
Hasonlóan számítható a primitív függvény:
Mindezek a hatványsorok ugyanott konvergensek, mint az eredeti.
- A polinomok olyan hatványsoroknak tekinthetők, melyek véges sok nem nulla együtthatós tagot tartalmaznak
- Exponenciális függvény: ,
- a konvergenciasugár végtelen
- Logaritmus, .
- A konvergenciasugár 1; -ben konvergens, -re divergens
- Négyzetgyök, ,
- a konvergenciasugár 1, és a sor -ben és -ben is konvergál
- Hatványsor (saját középpontjához tartozó) Taylor-sora előállítja magát a hatványsort
- Gonda János: Véges testek [compalg.inf.elte.hu/material/DOWNLOAD/vt.pdf]
- Halász Gábor: Komplex függvénytan
- Kurt Endl/Wolfgang Luh: Analysis II. Aula-Verlag 1973, 7-te Auflage 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 85-89, 99
- E. D. Solomentsev: Power series in der Encyclopaedia of Mathematics