figurális szám; olyan háromszögszám, amely egyben négyzetszám is From Wikipedia, the free encyclopedia
A matematika, közelebbről a számelmélet területén a háromszögű négyzetszámok olyan természetes számok, amik egyszerre háromszögszámok és négyzetszámok. Végtelen sok ilyen szám létezik, az első néhány: 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 (A001110 sorozat az OEIS-ben).
Jelölje a -adik háromszögű négyzetszámot, és pedig a hozzá tartozó négyzet és háromszög oldalait, így adódik:
Legyen egy háromszögszám háromszöggyöke . A definícióból és a kvadratikus formulából adódóan . Ezért akkor és csak akkor háromszögszám, ha négyzetszám, és természetesen akkor és csak akkor négyzetszám és háromszögszám egyben, ha négyzetszám, tehát ha léteznek olyan és egész számok, melyekre . Ez a Pell-egyenlet egyik példája, ahol . Minden Pell-egyenletnek van egy triviális megoldása (1,0), ezt a nulladik megoldásnak nevezik, és indexe . Ha jelöli adott -re nézve bármely Pell-egyenlet k-adik nemtriviális megoldását, akkor a végtelen leszállás módszerével megmutatható, hogy és . Ezért bármely Pell-egyenletnek, aminek létezik nem triviális megoldása (ha n nem négyzetszám), végtelen sok megoldása létezik. Az első nem triviális megoldás -ra könnyen megtalálható: (3,1). Az megoldás az Pell-egyenletre a következő módon ad meg egy háromszögű négyzetszámot annak négyzet- és háromszöggyökével: és . Így tehát az első háromszögű négyzetszám, ami a (3,1)-ből adódik az 1, a következő, ami a (17,6) (=6×(3,1)-(1,0))-ból adódik, a 36.
Az Nk, sk és tk sorozatok az OEIS-ben itt találhatók: A001110, A001109, illetve A001108.
1778-ban Leonhard Euler meghatározta az explicit képletet:[1] [2]
A fentiből következő, de esetenként kényelmesebben használható képletek még:
A megfelelő explicit képletek -ra és -ra nézve:[2]
és
A háromszögű négyzetszámok keresése a következő módon redukálható a Pell-egyenlet megoldására.[3] Minden háromszögszám felírható t(t + 1)/2 alakban. Ezért olyan t és s egész számokat keresünk, melyekre
Némi átalakítással:
majd helyettesítve és -et, a következő diofantoszi egyenlethez jutunk:
ami a Pell-egyenlet egy példánya. Ezt a konkrét darabot a Pell-számok a következőképpen oldják meg:[4]
ezért az összes megoldás kiolvasható a következőből:
Sok azonosság létezik a Pell-számokkal kapcsolatban, ezek a háromszögű négyzetszámokkal kapcsolatos identitásokká alakíthatók.
A háromszögű négyzetszámok definiálhatók rekurzív sorozatként, ahogy a hozzájuk kapcsolódó négyzetek és háromszögek oldalai is. Ezek[5]
Minden háromszögű négyzetszám felírható alakban, ahol konvergál négyzetgyök 2 lánctört-alakjához.[6]
A. V. Sylwester rövid bizonyítása arra nézve, hogy végtelen sok háromszögű négyzetszám létezik:[7]
Ha az háromszögszám négyzetszám, akkor a nagyobb
Azért tudjuk ezt, mert három négyzetszám szorzataként áll elő: (a kitevő alapján), (az -edik háromszögszám, a kiindulási feltétel alapján) és (a kitevő alapján). Négyzetszámok szorzata minden esetben négyzetszám lesz. Ez onnan is tudható, hogy a teljes négyzetnek levés szükséges és elégséges feltétele, hogy páros hatványon szerepeljenek a prímtényezők a prímtényezős felbontásban, és ez a tulajdonság két négyzetszám összeszorzásánál megmarad.
A háromszöggyökök váltakozva eggyel kisebbek egy négyzetszámnál és kétszeresei egy négyzetszámnak (páros k értékekre), illetve négyzetszámok és eggyel kisebbek egy négyzetszám kétszeresénél (páratlan k értékekre). Tehát, és . Mindegyik esetben a két négyzetgyök összeszorzása a következőt adja: és .
és . Más szavakkal, két egymást követő háromszögű négyzetszám különbsége egy harmadik háromszögű négyzetszám négyzetgyökével egyezik meg.
A háromszögű négyzetszámokat előállítő függvény:[8]
Ahogy értéke egyre nő, a arány egyre jobban megközelíti a -t, az egymást követő háromszögű négyzetszámok aránya pedig -t. Az alábbi táblázat bemutatja értékeit 0 és 7 között.
0 | 0 | 0 | 0 | ||
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
2 | 36 | 6 | 8 | 1,33333 | 36 |
3 | 1225 | 35 | 49 | 1,4 | 34,02778 |
4 | 41 616 | 204 | 288 | 1,41176 | 33,97224 |
5 | 1 413 721 | 1189 | 1681 | 1,41379 | 33,97061 |
6 | 48 024 900 | 6930 | 9800 | 1,41414 | 33,97056 |
7 | 1 631 432 881 | 40 391 | 57 121 | 1,41420 | 33,97056 |
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.