Axiomatikus halmazelmélet
From Wikipedia, the free encyclopedia
Az axiomatikus halmazelmélet a matematika halmazelmélet nevű résztudományának axiomatikus-deduktív módon történő kifejtése. Megkülönböztetjük korai elődjétől az „intuitív” vagy naiv halmazelmélettől, mely Cantor nevéhez fűződik és mely a keletkezésének idején még nem ismert logikai problémák fellépése miatt ellentmondásosnak bizonyult.
Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye. |
Minden axiomatikus halmazelmélet feltételez egy formális nyelvet, melyek kifejezéseivel írjuk le az elmélet (ti. az adott halmazelmélet) kijelentéseit. Egy matematikai elmélet formalizálhatósága (majd axiomatizálhatósága) azért fontos, hogy magát az elméletet és a benne megfogalmazott kijelentéseket szintén matematikai vizsgálatok (matematikai logikai vizsgálatok) tárgyává tehessük. Ezek a vizsgálatok döntik el például azt, hogy az elmélet ellentmondásmentes-e, negációteljes-e, illetve axiómái függetlenek-e egymástól. Ettől függetlenül az elterjedtebb formális-axiomatikus elméletek lényegében ugyanazokat a kijelentéseket szándékoznak formalizálni, így tulajdonképpen beszélhetünk egy egységes „nyelvfüggetlen” axiomatikus halmazelméletről. Azok a lényeges különbségek amiben az egyes formalizációk eltérnek, az „informális” elméletben is megjelennek, azaz, hogy mik az axiómák. Másrészt a mindennapi matematikai gyakorlat is ezt az „informális” halmazelméletet használja, leszámítva a kifejezetten formális nyelvi vizsgálatokat végző matematikai logikát.