Algebrai számelmélet
a számelmélet részterülete / From Wikipedia, the free encyclopedia
Az algebrai számelmélet a számelmélet és így a matematika egy részterülete.
Az algebrai számelmélet a racionális egész illetve racionális számok helyett számtestekkel, azaz a racionális számok testének véges bővítéseivel foglalkozik. Ha egy számtest, akkor vizsgálható a
-beli algebrai egészek
gyűrűje: ez
egész lezártjaként áll elő. Konkrétan fogalmazva
-ra
,
valamely és
mellett, azaz
gyöke egy egész együtthatós (nem konstans 0) polinomnak. Az így kapott
gyűrű Dedekind-gyűrű, és mint ilyen, számos tekintetben
-hez hasonlóan viselkedik, ugyanakkor bizonyos tulajdonságok csak gyengébb formában érvényesek. Például Dedekind-gyűrűkben nem feltétlenül létezik az elemek prímelemekre való egyértelmű felbontása (azaz nem feltétlenül teljesül a számelmélet alaptétele), viszont az ideálok mindig egyértelműen felbonthatók prímideálok szorzatára (tehát az alaptétel ideálokra teljesül).
Számtestek helyett általánosabban beszélhetünk globális testekről is: ebben a fogalomba a számtestek mellett véges bővítéseit – az úgynevezett függvénytesteket – is beleértjük, ahol
egy racionális prímszám. A számtestek és függvénytestek között alapvető különbség, hogy utóbbiak karakterisztikája véges. Ugyanakkor a globális testek két típusa között számos analógia is fennáll. Egy globális test közvetlen vizsgálata helyett gyakran eredményesebb a hozzá tartozó lokális testekkel foglalkozni, és az így kapott eredményekből a lokál–globál-elven keresztül eljutni egy a globális testre vonatkozó eredményhez. Ez az eljárás a racionális számok (mint globális test) esetében a p-adikus számok (mint lokális testek) vizsgálatát jelenti.