Krivulje drugog reda

Krivulje drugog reda, konike (prema konus) ili čunjosječnice algebarske su ravninske krivulje drugoga reda nastale presjekom ravnine i kružne dvostruke stožaste plohe. To su kružnica, elipsa, parabola i hiperbola, te njihove degeneracije: par ukrštenih pravaca (ako presječna ravnina prolazi kroz vrh stošca), odnosno par usporednih pravaca (ako se vrh stošca pomakne u beskonačnost). Koja od krivulja će nastati ovisi o kutu koji ravnina zatvara s osi i izvodnicom stošca.

Vrste krivulja drugog reda:
1. parabola,
2. kružnica (dolje) i elipsa (gore),
3. hiperbola.

Presjeci stošca ravninom mogu biti krug, elipsa, parabola ili hiperbola.

Geometrijski dokaz povezanosti presjeka stošca ravninom s kružnicom, elipsom, hiperbolom i parabolom izveo je francuski matematičar Dandelin sredinom 19. stoljeća. Dokaz se služi tzv. Dandelinovim kuglama.

U pravokutnom Kartezijevu koordinatnom sustavu konike su određene općom jednadžbom:

${\displaystyle A\cdot x^{2}+B\cdot x\cdot y+C\cdot y^{2}+D\cdot x+E\cdot y+F=0,}$

Na primjer ako je A = C i B = 0, jednadžba opisuje kružnicu.

Konike su određene s 5 točaka. Ako 3 točke konike leže na istom pravcu, konika je degenerirana. Po takvim se krivuljama gibaju nebeska tijela manje mase u gravitacijskome polju nebeskog tijela veće mase.^[1]

Uvjet A² + B ² +C² ≠ 0 označava da je lijeva strana polinom drugog stupnja s varijablama x, y.

Svojstva konika:

konika	normalna jednadžba	numerički ekscentricitet ε	linearni ekscentricitet e
kružnica	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle 0\,}$
elipsa	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$
parabola	${\displaystyle x^{2}=4\cdot a\cdot y\,}$	${\displaystyle 1\,}$	-
hiperbola	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Kružnica

Podrobniji članak o temi: Kružnica

Neka je r > 0 i S točka u ravnini. Kružnica radijusa r sa središtem u S je skup točaka te ravnine od kojih je svaka od njih za r udaljena od S. Ako je u koordinantnom sustavu x0y točka S (x₀, y₀) onda jednadžba kružnice glasi

(x-x₀) ² + (y -y₀) ² =r ²

Za (x₀, y₀) = (0,0) imamo kružnicu s centrom u koordinantnom početku i radijusom r koja glasi

x² + y ² = r ²

Jednadžba x² + y ² =0 predstavlja točku (0, 0).

Elipsa

Podrobniji članak o temi: Elipsa

Neka je 2a> 0 realan broj ,F₁ i F₂ različite točke ravnine čija je udaljenost

│F₁ F₂│ = 2e < 2a.

Elipsa sa žarištima u F₁ i F₂ je skup točaka ravni s osobinom da za svaku tačku skupa vrijedi

│F₁T│ + │F₂ T│= 2 a

Ako točke F₁ i F₂ leže na x osi sustava x0y i imaju koordinate F₁( -e,0) i F₂ ( e ,0) jednadžba elipse glasi

b² x² + a² y ² = a²b ²

Hiperbola

Podrobniji članak o temi: Hiperbola

Neka je 2a< 2e realan broj, F₁ i F₂ različite točke ravnine čija je udaljenost

│F₁ F₂│= 2e > 2a.

Hiperbola sa žarištima F₁ i F₂ je skup točaka ravnine s osobinom da za svaku točku T tog skupa vrijedi

│F₁T│ - │F₂ T│= 2 a

Za F₁ ( -e, 0) i F₂ (e, 0) vrijedi

b² x²- a² y ² = a²b ²

Parabola

Podrobniji članak o temi: Parabola

Neka su u ravnini zadani pravac i točka van tog pravca. Parabola je skup točaka te ravnine od kojih je svaka udaljena od zadanog pravca isto koliko i od zadane točke. Dana točka je žarište, a pravac ravnalica parabole.

Ako je p udaljenost od ravnalice, a žarište je u sustavu x0y i ima koordinate (0, p/2), jednadžba parabole glasi

y² = 2px

Izvori

1. konike (čunjosječnice), "Hrvatska enciklopedija", Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2018.