Iracionalna jednadžba

Jednadžba kod koje se nepoznata veličina nalazi pod znakom korijena zove se iracionalna jednadžba. Premda se u širem smislu pojma iracionalne jednadžbe nepoznata veličina može nalaziti pod znakom bilo kojeg korijena, u pravilu se pod iracionalnom jednadžbom podrazumijeva jednadžba gdje se nepoznata veličina nalazi pod kvadratnim korijenom i gdje je rješavanje iracionalne jednadžbe relativno jednostavno.

Područje definicije

Iracionalna jednadžba je definirana za ono područje nepoznate veličine x u kojem je izraz ispod korijena općenito veći ili jednak nuli, gdje je, na primjer, za član:

${\displaystyle {\sqrt {x+4}}}$ jednadžba definirana ${\displaystyle \forall }$ x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \left\lbrack -4,+\infty \right\rangle }$

ili za član

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-4}}}$ jednadžba definirana ${\displaystyle \forall }$ x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \left\langle -\infty ,-2\right\rbrack ,\left\lbrack +2,+\infty \right\rangle }$

Jednostavna iracionalna jednadžba

Jednostavnijom iracionalnom jednadžbom možemo smatrati iracionalnu jednadžbu koja sadržava jedan član s nepoznatom veličinom ispod korijena kao na primjer:

${\displaystyle {\sqrt {4x-8}}-2=0.}$

Sređivanjem i kvadriranjem obje strane jednadžbe nalazimo kako slijedi:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {4x-8}}&=2/^{(2)}\\4x-8&=4\\4x&=12\\x&=3\\\end{aligned}}}$

gdje je lako ustanoviti da rješenje jednadžbe zadovoljava postavljenu jednadžbu.

Složenija iracionalna jednadžba

Nešto složenijom iracionalnom jednadžbom možemo smatrati iracionalnu jednadžbu koja sadržava dva člana gdje se nepoznata veličina nalazi ispod korijena kao na primjer:

${\displaystyle {\sqrt {3x-2}}={\sqrt {x+7}}-1}$

Kvadriranjem i sređivanjem iracionalne jednadžbe nalazimo, redom:

${\displaystyle {\begin{aligned}3x-2&=x+7-2{\sqrt {x+7}}+1\\2x-10&=-2{\sqrt {x+7}}/(:2)\\x-5&=-{\sqrt {x+7}}/^{(2)}\\x^{2}-10x+25&=x+7\\x^{2}-11x+18&=0\end{aligned}}}$

Rješavajući ovu kvadratnu jednadžbu nalazimo dva rješenja x₁=9 i x₂=2, gdje je rješenje x₁ ne udovoljava postavljenoj iracionalnoj jednadžbi, a rješenje x₂ udovoljava.

Složena iracionalna jednadžba

Složenom iracionalnom jednadžbom možemo smatrati iracionalnu jednadžbu koja sadržava tri ili više članova gdje se nepoznata veličina nalazi ispod korijena kao na primjer:

${\displaystyle {\sqrt {2-x}}+{\sqrt {2x+2}}={\sqrt {3x+6}}}$

U traženju rješenja postupa se slično gornjem primjeru:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2-x}}+{\sqrt {2x+2}}&={\sqrt {3x+6}}/^{(2)}\\2-x+2{\sqrt {2-x}}{\sqrt {2x+2}}+2x+2&=3x+6\\2{\sqrt {2-x}}{\sqrt {2x+2}}&=2x+2/:(2)\\{\sqrt {2-x}}{\sqrt {2x+2}}&=x+1/^{(2)}\\(2-x)(2x+2)&=x^{2}+2x+1\\4x+4-2x^{2}-2x&=x^{2}+2x+1\\-3x^{2}&=-3/:(-3)\\x^{2}&=1\end{aligned}}}$

Rješenja su očito x₁=1 i x₂=-1, gdje oba rješenja udovoljavaju postavljenoj jednadžbi.

Literatura

• Kurnik M., Pavković B., Zorić Ž., "Matematika 1", Školska knjiga, Zagreb, 2006.