Matematička konstanta
, još nazvan i Eulerov broj ili Napierova konstanta, je baza prirodnog logaritma i jedan je od najznačajnijih brojeva u suvremenoj matematici, pored neutralnih elemenata za zbrajanje i množenje, 0 i 1, imaginarne jedinice i i broja pi. Osim što je iracionalan (dakle, realan), ovaj broj je još i transcendentan. Do tridesetog decimalnog mjesta, ovaj broj iznosi:
≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 34678 2376732 6727 267 274728 3 39^˘654...
Konstanta
se može definirati kao:
- Limes niza brojeva
![{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e76702c87ce1c681ed1da8213125963524ca0ee6)
- Suma beskonačnog niza:
- gdje je n!, n faktorijel .
- Pozitivna vrijednost koja zadovoljava sljedeću jednadžbu :
![{\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{x}}\,dx={1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98fcb10efa82273ccad4520731849720d1396080)
- istovjetnost između ova tri slučaja dokazanа.
- Ovaj broj se sreće i kao dio Eulerovog identitetа:
![{\displaystyle e^{\mathrm {i} \cdot \pi }=-1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5071b65616ce8bd57a4acf1a7ca9f42831411b77)
- Ako je
polinom stupnja
, onda vrijedi
jer je
.
Kod linearnih funkcija oblika
prirast vrijednosti funkcije po prirastu ulazne vrijednosti je konstantan i iznosi
tj. ![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=a.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c160277047d88c9bc871fbb5c23dcf00ea8a7793)
Kod polinomnih funkcija, tj. funkcija oblika
rast se mijenja, tj. postoji funkcija koja opisuje promjenu vrijednosti (ili nagiba tangente u svakoj točki krivulje) prvobitne funkcije. Ta nova funkcija naziva se derivacija.
Kod transcedentih (nealgebarskih - prelaze granice 4 osnovne računske operacije) funkcija nagib je osobito važan, rast je eksponencijalan. Primjerice, kod funkcije
lako se može računalnim programom ustvrditi da je graf njene derivacije vrlo sličan, ali uvijek (za sve elemente iz njene domene) nešto niži. Njena derivacija je približno jednaka
Ipak, za (i jedino za) jediničan prirast ulazne vrijednosti rast izlazne je točno jednak
To se lako dokaže:
(to je jedina funkcija za koju to vrijedi).
Sada se nameće pitanje: postoji li eksponencijalna funkcija
za koju vrijedi da za beskonačno mali prirast
je prirast
točno jednak
Odgovor na ovo pitanje nije teško naći. Neka je ![{\displaystyle dx=h\rightarrow 0.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f0c0398908723c540acbf694c302dc4333c6f9)
Pitamo se za koji
je
Računamo:
odakle je
pa dobivamo poznati limes
Dokazuje se da je taj limes (kada
) jednak
i nazivamo ga Eulerovim brojem i označavamo s ![{\displaystyle e.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555e31662b6063bc8e8afb6c4c83a46101db0cb9)
Gornji limes može se zapisati i kao
Poznato je da vrijedi ![{\displaystyle e^{x}=(1+{\frac {x}{n}})^{n},n\rightarrow \infty .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbaf86245088c6df6dc1842f0d65ba0ec0422a6a)
Definicija imaginarnog eksponenta. Neka je
Definiramo
S drugačijim prikazom
dobiva se poznata Eulerova formula
Ovdje ćemo na "originalnoj" definiji broja
pikazati zašto formula vrijedi.
Množenje kompleksnih brojeva
svodi se na množenje njihovih modula i zbrajanja priklonih kutova pa ako stavimo
vidimo da dobivamo spiralu.
Objasnit ćemo Eulerov identitet, kada je
Vratimo se na limes
Očito se radi o kompleksnom broju
kojeg uzastopno množimo sa samim sobom, baš kao u prošlom primjeru. Kako
vidimo da se naš broj vertikalnk približava apscisi. Ako primotrimo luk jedinične kružnice sa središtem u ishodištu omeđen apscisom i pravcem
vidimo da je uvijek kraći od "visine" našeg kompleksnog broja. No,
se povećava pa se razlika smanjuje, tj. prikloni kut postaje
radijana te se magnituda približava broju
Dakle,
svodi se na potenciranje magnitude (koja teži u
) i n-terostrukog zbrajanja kutova (koji približno iznose
radijana) što nas po kružnoj putanji (
) dovodi u točku
To dokazuje, prema mnogima najljepšu "formulu" u matematici, ![{\displaystyle e^{\pi \cdot i}=-1.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd220288fff5a36919a0be2e422ffa71b9b9ad49)