U apstraktnoj algebri, polje je algebarska struktura u kojoj se mogu izvoditi operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja (osim dijeljenja s nulom), i gdje vrijede poznata pravila iz aritmetike običnih brojeva.
Sva polja su prsteni, ali ne i obratno. Polja se razlikuju od prstena po tome što se traži da je dijeljenje moguće, a u današnje vrijeme, također i po tome da operacija množenja u polju bude komutativna. Inače je struktura tzv. prsten s dijeljenjem, iako su se povijesno prsteni s dijeljenjem nazivali polja, a polja su bila komutativna polja.
Osnovni primjer polja je
, polje racionalnih brojeva. Ostali važni primjeri uključuju polje realnih brojeva
, polje kompleksnih brojeva
i, za bilo koji prost broj p, konačno polje cijelih brojeva modulo p, oznaka
. Za bilo koje polje K, skup K(X), tj. skup racionalnih funkcija s koeficijentima iz K je također polje.
Matematička disciplina koja se bavi proučavanjem polja se naziva teorija polja.
Definicija 1
Polje je komutativan prsten s dijeljenjem.
Definicija 2
Polje je komutativni prsten (
, +, *) takav da je 0 različito od 1 i da svi elementi od
osim nule imaju inverz za množenje. (Važno je primijetiti da 0 i 1 ovdje redom označavaju neutralne elemente za operacije + i *, te se mogu razlikovati od poznatih realnih brojeva 0 i 1).
Definicija 3
Eksplicitno, polje je definirano sljedećim svojstvima:
- Zatvorenost od
za + i *
,
i
(ili formalnije, + i * su binarne operacije na F).
- + i * su asocijativne operacije
,
i
.
- + i * su komutativne operacije
,
i
.
- Vrijedi distributivnost operacije * prema +
,
.
- Postojanje neutralnog elementa za zbrajanje
takav da je
,
.
- Postojanje neutralnog elementa za množenje
takav da je
,
.
- Postojanje inverza za zbrajanje
![{\displaystyle \forall a\in \mathbb {F} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5ed824ee5161b65d6df4c9ea23147d5ba8b6c5e)
, takav da je
.
- Postojanje inverza za množenje
,
, takav da je
.
Uvjet da je 0 ≠ 1 osigurava da skup koji sadrži samo jedan element nije polje. Izravno iz aksioma se može pokazati da su (
, +) i (
, *) komutativne grupe (Abelove grupe), i tada su aditivni inverz −a i multiplikativni inverz a−1 jedinstveno određeni s a. Ostala korisna pravila uključuju:
- −a = (−1) * a
i općenitije
- −(a * b) = (−a) * b = a * (−b),
kao i
- a * 0 = 0.
- Kompleksni brojevi
, s uobičajenim operacijama zbrajanja i množenja. Polje kompleksnih brojeva sadrži sljedeća potpolja:
- Racionalni brojevi
|
, gdje je
skup cijelih brojeva, a
skup prirodnih brojeva. Polje racionalnih brojeva nema pravih potpolja.