Jedinična kružnica

Jedinična, brojevna ili trigonometrijska kružnica definirana je kao kružnica sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava (0, 0) i polumjerom odnosno radijusom 1. Jedinična kružnica siječe x-os u točkama (-1,0) i (1,0) i y-os u točkama (0, 1) i (0, -1).

Koordinate na jediničnoj kružnici

Ortogonalna projekcija točke ${\displaystyle A(x,y)}$ na x-os je ${\displaystyle A_{1}(x,0)}$, a na y-os ${\displaystyle A_{2}(0,y)}$. Dužine ${\displaystyle OA_{1}}$ i ${\displaystyle OA_{2}}$ su katete pravokutnog trokuta ${\displaystyle OA_{1}A_{2}}$ čije su dužine x i y.

${\displaystyle \cos \theta }$ je horizontalna, a ${\displaystyle \sin \theta }$ vertikalna dužina. Kut ${\displaystyle \theta }$ je u standardnom položaju. Prema definicijama funkcija sinus i kosinus dobivamo sljedeće jednakosti:

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {y}{1}}=y}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{1}}=x}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \theta ={\frac {y}{x}}}$

Ako su (x, y) točke na kružnici u prvom kvadrantu, onda su x i y katete pravokutnog trokuta (isječci na x i y osi, respektivno) čija je hipotenuza (polumjer) 1. Prema Pitagorinom poučku x i y zadovoljavaju jednadžbu

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

Budući da uvijek vrijedi ${\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}$, prethodna jednadžba vrijedi za sve točke (x, y) na jediničnoj kružnici, a ne samo za prvi kvadrant.

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije na jediničnoj kružnici (Animacija)

Uz pomoć trigonometrijskih funkcija kod pravokutnih trokuta mogu se prikazati odnosi između koordinata i kutova na jediničnoj kružnici. Trigonometrijske funkcije sinus i kosinus mogu se na jediničnoj kružnici definirati na sljedeći način: ako je (x, y) točka na jediničnoj kružnici i ako dužina od ishodišta do točke (x, y) čini kut t s pozitivnim dijelom apscise (u smjeru suprotnim od smjera kazaljke na satu), tada vrijedi:

${\displaystyle \cos \theta =x}$

${\displaystyle \sin \theta =y}$

Jednadžba ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ daje poznatu relaciju

${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}$

	α	sin α	cos α	tg α	cotg α
1. kvadrant	0–90°	+	+	+	+
2. kvadrant	90–180°	+	−	−	−
3. kvadrant	180–270°	−	−	+	+
4. kvadrant	270–360°	−	+	−	−

Jedinična kružnica također daje uvid da su sinus i kosinus periodične funkcije jednakostima:

${\displaystyle \cos t=\cos \left(2k\pi +t\right)}$

${\displaystyle \sin t=\sin \left(2k\pi +t\right)}$

za svaki cijeli broj k.

Ove jednakosti polaze od činjenice da x i y koordinate točke na krugu ostaju iste ako kut t napravi bilo koji broj okreta po kružnici (1 okret = 360° = 2π radijana).

Pri radu s pravokutnim trokutima, sinus i kosinus, kao i ostale trigonometrijske funkcije imaju smisla samo ako je kut veći od 0 i manji od ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$. Koristeći jediničnu kružnicu, ove funkcije dobivaju smisao za bilo koju realnu vrijednost kuta. Ako je točka A točka jedinične kružnice onda su njene koordinate

${\displaystyle A(0)=A(2\pi )=(1,0)}$

${\displaystyle A(\pi /2)=(0,1)}$

${\displaystyle A(\pi )=(-1,0)}$

Druge točke su određene koordinatama ${\displaystyle \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}$

Zamjenom ${\displaystyle t={\frac {p}{q}}}$ dobivamo Pitagorine trojke ${\displaystyle (q^{2}-p^{2},2pq,q^{2}+p^{2})}$.

Kompleksna ravnina

U kompleksnoj ravnini jedinična kružnica predstavljena je skupom ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$

${\displaystyle G=\{z:\operatorname {Re} (z)^{2}+\operatorname {Im} (z)^{2}=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leq \phi <2\pi \}}$

Jedinična kružnica pojavljuje se i u polarnom rastavu kompleksnog broja:

${\displaystyle z=re^{i\varphi }=r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)=r\operatorname {cis} \phi }$

Faktor e^iφ koji opisuje fazu broja nalazi se na jediničnoj kružnici.

Ta kružnica ima i druga korisna svojstva. Primjerice, bilo koja realna potencija broja na jediničnoj kružnici također se nalazi na jediničnoj kružnici, što olaškava potenciranje kompleksnih brojeva:

${\displaystyle z^{a}=r^{a}\left(e^{i\varphi }\right)^{a}=r^{a}e^{ia\varphi }=r^{a}\operatorname {cis} a\varphi }$

Vidi i

• Kut
• Sinus
• Kosinus
• Trigonometrija
• Eulerova formula

Izvori

• Unit Circle
• Jedinični krug