सम्मिश्र विश्लेषण

सम्मिश्र विश्‍लेषण (अंग्रेज़ी: Complex analysis) जिसे सामान्यतः सम्मिश्र चरों के फलनों का सिद्धान्त भी कहा जाता है गणितीय विश्लेषण की एक शाखा है जिसमें सम्मिश्र संख्याओं के फलनों का अध्ययन किया जाता है। यह बीजीय ज्यामिति, संख्या सिद्धान्त, व्यावहारिक गणित सहित गणित की विभिन्न शाखाओं में उपयोगी है तथा इसी प्रकार तरल गतिकी, उष्मागतिकी, यांत्रिक अभियान्त्रिकी और विद्युत अभियान्त्रिकी सहित भौतिक विज्ञान में भी उपयोगी है।

फलन f(x) = (x² − 1)(x − 2 − i)²/ (x² + 2 + 2i) का आरेख। यहाँ वर्णिमा से फलन के कोणांक को दर्शाता है और चमकीलापन उस बिन्दु पर फलन के परिणाम को प्रदर्शित करते हैं।

सम्मिश्र फलन

एक सम्मिश्र फलन वह कहलाता है जिसमें स्वतंत्र चर और आश्रित चर दोनों ही सम्मिश्र संख्याएं हो। अधिक संक्षेप में सम्मिश्र फलन वह फलन है जिसमें प्रांत और परिसर दोनों सम्मिश्र तल के उपसमुच्चय हों।

एक सम्मिश्र फलन के लिए, स्वतंत्र चर और आश्रित चर दोनों को वास्तविक व काल्पनिक भागों में विभक्त किया जा सकत है:

${\displaystyle z=x+iy\,}$ and

${\displaystyle w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\,}$

जहाँ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} \,}$ और ${\displaystyle u(x,y),v(x,y)\,}$ वास्तविक मान फलन हैं।

अन्य शब्दों में, फलन f(z) के घटक

${\displaystyle u=u(x,y)\,}$ और

${\displaystyle v=v(x,y),\,}$

को वास्तविक चरों x और y.के वास्तविक-मान फलनों के रूप में लिखा जा सकता है।

होलोमार्फिक फलन

मुख्य लेख: होलोमार्फिक फलन

सन्दर्भ

• सम्मिश्र विश्‍लेषण, प्रकाशन : जयपुर पब्लिकेशन हाउस।
• Ahlfors.,Complex Analysis (McGraw-Hill).
• C. Carathéodory, Theory of Functions of a Complex Variable (Chelsea, New York). [2 volumes.]
• Needham T., Visual Complex Analysis (Oxford, 1997).
• Henrici P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
• Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, 9 ed., Ch.13-18 (Wiley, 2006).
• A.I.Markushevich.,Theory of Functions of a Complex Variable (Prentice-Hall, 1965). [Three volumes.]
• Scheidemann, V., Introduction to complex analysis in several variables (Birkhauser, 2005)
• Shaw, W.T., Complex Analysis with Mathematica (Cambridge, 2006).
• Spiegel, Murray R. Theory and Problems of Complex Variables - with an introduction to Conformal Mapping and its applications (McGraw-Hill, 1964).
• Marsden & Hoffman, Basic complex analysis (Freeman, 1999).

इन्हें भी देखें

• सदिश गणित (Vector calculus)
• वास्तविक विश्लेषण (Real analysis)
• रुंगे का प्रमेय ( Runge's theorem)

बाहरी कड़ियाँ

• सम्मिश्र विशलेषण (Complex Analysis) -- विषयपुस्तक लेखक जॉर्ज कैन
• डगलस एन॰ अर्नोल्ड द्वारा रचित वेबसाइट पाठ्यक्रम सम्मिश्र विशलेषण
• सम्मिश्र विशलेषण में उदाहरणार्थ सवाल
• सम्मिश्र विशलेषण से सम्बंधित कड़ियाँ
• Complex Analysis Project by John H. Mathews
• Wolfram Research's MathWorld Complex Analysis Page
• Complex function demos
• Application of Complex Functions in 2D Digital Image Transformation
• Complex Visualizer - Java applet for visualizing arbitrary complex functions
• JavaScript complex function graphing tool
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis