अंतर्वेशन

अंतर्वेशन (इंटरपोलेशन / Interpolation) का अर्थ है किसी गणितीय सारणी में दिए हुए मानों के बीच वाले मानों को ज्ञात करना। अंग्रेजी शब्द इंटरपोलेशन का शाब्दिक अर्थ है - 'बीच में शब्द बढ़ाना' या किसी के वर्ग या समूह के बीच में उसी तरह की और कोई चीज बाहर से लाकर जमाना, बैठाना या लगाना।।^[1]

उदाहरण

मान लीजिए, निम्नलिखित सारणी दी हुई है:

पार्श्व सारणी में दिये गये आकड़ों का ग्राफीय निरूपण

उपरोक्त आंकड़ों का रैखिक अन्तर्वेशन ; जिससे ${\displaystyle \,f(2.5)=0.5252}$ प्राप्त होता है।

उपरोक्त आंकड़ों का बहुपद अन्तर्वेशन ;${\displaystyle \,f(x)=-0.0001521x^{6}-0.003130x^{5}+0.07321x^{4}-0.3577x^{3}+0.2255x^{2}+0.9038x}$ जिससे ${\displaystyle \,f(2.5)=0.5965}$ प्राप्त होता है।

${\displaystyle ~x}$	${\displaystyle ~f(x)}$
0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

प्रश्न यह है कि x के सारणीबद्ध मानों के बीच के किसी मान के लिए (जैसे x = 2.5 के लिए) f(x) का मान किस प्रकार निकाला जाय। इस प्रश्न का उत्तर अंतर्वेशन सिद्धांत द्वारा मिलता है। अंतर्वेशन के विकसित सिद्धांत से किसी सारणी द्वारा निर्दिष्ट फलन का अवकल गुणक (डिफ़रेंशियल कोइफ़िशेंट) अथवा दो सीमाओं के बीच का अनुकल (इनटेग्रल) निकालना भी संभव है।

अन्तर्वेशन की विधियाँ

अन्तर्वेशन की कई विधियाँ हैं। उपयुक्त विधि चुनते समय उनकी परिशुद्धता, दक्षता, कम से कम कितने बिन्दु चाहिये, आदि बातों पर ध्यान दिया जाता है।

• खण्डश: नियत अन्तर्वेशन (Piecewise constant interpolation)
• रैखिक अन्तर्वेशन (Linear interpolation)
• स्प्लाइन अन्तर्वेशन (Spline Interpolation)
• बहुपदीय अन्तर्वेशन (Polynomial Interpolation)
• गाउसीय प्रक्रियाओं द्वारा अन्तर्वेशन (Interpolation via Gaussian processes), आदि

सन्दर्भ

1. शब्दार्थ^{[मृत कड़ियाँ]}। पुस्तक.ऑर्ग

इन्हें भी देखें

• बहिर्वेशन (Extrapolation)
• वक्र बैठाना (Curve fitting)
• स्प्लाइन (Spline)
• लग्रान्ज बहुपद
• ब्रह्मगुप्त अन्तर्वेशन सूत्र

बाहरी कड़ियाँ

• DotPlacer applet : Applet showing various interpolation methods, with movable points
• A Chronology of Interpolation From Ancient Astronomy to Modern Signal and Image Processing
• On finite differences, Interpolation Methods and Power Series Expansion in Indian Mathematics