चतुर्विम यूक्लिडीन समष्टि में घूर्णन

गणित में चतुर्विम यूक्लिडीन समष्टि में किसी स्थिर बिन्दु के सापेक्ष घूर्णन के समूह को SO(4) अथवा एसओ(४) से निरूपित किया जाता है। यह विशिष्ट लाम्बिक समूह की चतुर्थ कोटि (के तुल्यकारिक) है।

इस लेख में घूर्णन का अर्थ घूर्णी विस्थापन है।

चतुर्विम घूर्णन की ज्यामिति

चतुर्विम घूर्णन को दो तरह से परिभाषित किया जाता है: साधारण अथवा सरल घूर्णन एवं दोहरा घूर्णन।

सरल घूर्णन

घूर्णी केन्द्र O के सापेक्ष सरल घूर्णन R, पूर्ण समतल A को O के सापेक्ष (अक्षीय-तल) के सापेक्ष नियत रखता है। A के सापेक्ष पूर्णतः लाम्बिक प्रत्येक तल B, A को किसी निश्चित बिन्दु P पर काटता है।^[1] ऐसा प्रत्येक बिन्दु P, B में R द्वारा प्रेरित द्विविमीय घूर्णन का केन्द्र बिन्दु होगा। इस तरह के सभी द्विविमीय घूर्णन समान घूर्णन कोण ${\displaystyle \alpha }$ से होते हैं।

अक्षीय-तल A में O से किरणें विस्थापित नहीं होती; A के लाम्बिक O से किरणें ${\displaystyle \alpha }$ कोण से विस्थापित होती हैं; अन्य सभी किरणें ${\displaystyle \alpha }$ से कम कोण से विस्थापित होती हैं।

दोहरा घूर्णन

त्रिविम प्रक्षेप में, दोहरे घूर्णन में चतुर्विम घन

त्रिविम प्रक्षेपित एक चतुर्विम क्लिफोर्ड टॉरस, जो त्रिविम में एक टॉरस के समान प्रतित होती है और इसके दोहरे घूर्णन कुंडलिनी पथ में देखे जा सकते हैं।

चतुर्विम समष्टि में प्रत्येक घूर्णन R (स्थिर मूल बिन्दु के सापेक्ष), दो लाम्बिक द्विविम तल A और B का कम से कम एक युग्म, जिनमें प्रत्येक निश्चर है और इनका सीधा संकल A⊕B पूर्ण चतुर्विम समष्टि है। अतः R किसी भी तल पर उसके साधारण घूर्णन जनित करता है। लगभग सभी R के लिए (3-विमीय उपसमुच्चय को छोड़कर सभी सभी 6-विमीय घूर्णन समुच्चय) तल A में घूर्णन कोण α और तल B में β — दोनों को शून्यतर माना जाता है — भिन्न हैं। -π < α, β < π को सन्तुष्ट करने वाले असमान घूर्णन कोण α और β लगभग^* R द्वारा अद्वितीय रूप से ज्ञात किये जा सकते हैं।

टिप्पणी

1. कम से कम M + N विमीय यूक्लिडीन समष्टि S में M और N विमीय दो समपरिष्कृत उपसमष्टि S₁ और S₂ को पूर्ण लाम्बिक कहा जाता है यदि S1 में प्रत्येक रेखा S2 में प्रत्येक रेखा के लम्बवत हो। यदि विमा(S) = M + N तब S1 और S2 एक दूसरे को एकल बिन्दु O पर काटेंगे। यदि विमा(S) > M + N तब ऐसा सम्भव है कि S1 और S2 कहीं भी और कहीं नहीं एक दूसरे को काटें। यदि विमा(S) = M + N तब S₁ में एक रेखा और S2 में एक रेख एक दूसरे को काट भी सकती हैं और नहीं भी; यदि ये रेखायें एक दूसरे को काटती हैं तो इनका मिलन बिन्दु O होगा। (Literature: Schoute 1902, Volume 1.)

सन्दर्भ

• L. van Elfrinkhof: Eene eigenschap van de orthogonale substitutie van de vierde orde. Handelingen van het 6e Nederlandsch Natuurkundig en Geneeskundig Congres, Delft, 1897.
• Felix Klein: Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis. Translated by E.R. Hedrick and C.A. Noble. The Macmillan Company, New York, 1932.
• Henry Parker Manning: Geometry of four dimensions. The Macmillan Company, 1914. Republished unaltered and unabridged by Dover Publications in 1954. In this monograph four-dimensional geometry is developed from first principles in a synthetic axiomatic way. Manning's work can be considered as a direct extension of the works of Euclid and Hilbert to four dimensions.