תבנית ריבועית

במתמטיקה, תבנית ריבועית היא תבנית מהצורה ${\displaystyle Q(x)=b(x,x)}$, כאשר ${\displaystyle b}$ היא תבנית ביליניארית; במילים אחרות, תבנית ריבועית היא פולינום בכמה משתנים שכל האיברים בו הם מדרגה 2. לדוגמה, ${\displaystyle x^{2}+8xy-4xz+5z^{2}}$ היא תבנית ריבועית אבל הפונקציה ${\displaystyle x^{2}+yx+3x}$ לא, משום שהאיבר האחרון, ${\displaystyle 3x}$ הוא מדרגה 1. תבניות ריבועיות מופיעות בהקשרים אלגבריים (בחקר מהן התבניות, עד כדי איזומורפיזם), גאומטריים (איזו צורה מתארת המשוואה ${\displaystyle x^{2}+8xy-4xz+5z^{2}=1}$) ואריתמטיים (האם יש פתרונות שלמים למשוואה ${\displaystyle x^{2}+8xy-4xz+5z^{2}=3}$), והן מהוות נושא למחקר פורה.

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

הגדרה

יהי ${\displaystyle V}$ מרחב וקטורי מעל שדה ${\displaystyle F}$. תבנית ביליניארית היא פונקציה ${\displaystyle b\colon V\times V\to F}$ המהווה העתקה ליניארית בכל אחד מהרכיבים שלה. ${\displaystyle (V,b)}$ נקרא מרחב ביליניארי. התבנית היא סימטרית אם ${\displaystyle b(x,y)=b(y,x)}$ לכל ${\displaystyle x,y\in V}$.

תבנית ריבועית היא פונקציה המתקבלת מההצבה ${\displaystyle Q(x)=b(x,x)}$ בתבנית ביליניארית ${\displaystyle b}$. תבנית כזו היא פולינום הומוגני מדרגה 2. מספר המשתנים בתבנית הוא הממד של ${\displaystyle V}$, הקרוי גם הממד של התבנית. צורתה הכללית היא ${\displaystyle q(x_{1},...,x_{n})=\sum _{i,j}{a_{i,j}x_{i}x_{j}}}$, עם ${\displaystyle a_{i,j}\in F}$. הזוג ${\displaystyle (V,q)}$ נקרא מרחב ריבועי.

אומרים ששני מרחבים ריבועיים הם איזומטריים אם קיים איזומורפיזם של מרחבים וקטוריים, המשמר את התבנית.

תבניות ריבועיות וביליניאריות

במאפיין שונה מ-2, כל תבנית ריבועית מושרית מתבנית ביליניארית סימטרית. גם ההפך נכון, כלומר כל תבנית ביליניארית סימטרית מוגדרת על ידי תבנית ריבועית, לפי הזהות הפולרית ${\displaystyle b(x,y)={\frac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y))}$. מזהות זו נובע כי התבנית הבילינארת הסימטרית המשרה את התבנית הריבועית היא יחידה. במאפיין 2 הקשר מעט יותר מסובך, והקורא שאינו מעוניין במקרה זה יכול לדלג על שאר הסעיף.

נקבע מרחב וקטורי מעל שדה ממאפיין כלשהו. נסמן ב-${\displaystyle \mathrm {Bil} }$ את מרחב התבניות הביליניאריות. כל תבנית ביליניארית ${\displaystyle b}$, לאו דווקא סימטרית, משרה כאמור תבנית ריבועית, לפי ${\displaystyle q_{b}(x)=b(x,x)}$, וכל תבנית ריבועית מתקבלת באופן כזה. תבנית ביליניארית המקיימת ${\displaystyle b(x,x)=0}$ נקראת תבנית מתחלפת (alternating); את מרחב התבניות המתחלפות מסמנים ב-${\displaystyle \mathrm {Alt} }$. יש התאמה חד-חד-ערכית על בין מרחב התבניות הריבועיות ${\displaystyle \mathrm {Quad} }$, לבין מרחב המנה ${\displaystyle \mathrm {Bil} /\mathrm {Alt} }$. מאידך, כל תבנית ריבועית מגדירה תבנית ביליניארית סימטרית ${\displaystyle b_{q}(x,y)=q(x+y)-q(x)-q(y)}$; זוהי העתקה מ-${\displaystyle \mathrm {Quad} }$ אל ${\displaystyle \mathrm {Sym} }$ (מרחב התבניות הסימטריות), וההרכבה היא ${\displaystyle b_{q_{b}}(x,y)=b(x,y)+b(y,x)}$.

במאפיין שונה מ-2, תבנית היא מתחלפת אם ורק אם היא אנטי-סימטרית; אפשר לפרק ${\displaystyle \operatorname {Bil} =\operatorname {Sym} \oplus \operatorname {Alt} }$, וכך מתקבלת התאמה בין תבניות ריבועיות לתבניות ביליניאריות סימטריות; .

לעומת זאת במאפיין 2, מתקיים פירוק אחר לגמרי: ${\displaystyle \operatorname {Sym} =\operatorname {Alt} \oplus \operatorname {Diag} }$ (כאשר ${\displaystyle \mathrm {Diag} }$ הוא מרחב התבניות האלכסוניות), המאפשר להציג תבנית ריבועית באופן יחיד דרך תבנית ביליניארית משולשית. מכיוון שבמאפיין 2 מתקיים ${\displaystyle b_{q_{b}}(x,x)=2b(x,x)=0}$, התבנית ${\displaystyle b_{q}}$ היא תמיד מתחלפת. הגרעין של ההתאמה ${\displaystyle \operatorname {Quad} \to \operatorname {Alt} }$ המוגדרת לפי ${\displaystyle q\mapsto b_{q}}$ הוא אוסף המטריצות האלכסוניות.

מטריצות והצורה האלכסונית

לאחר שקובעים למרחב הווקטורי ${\displaystyle V}$ בסיס ${\displaystyle B}$, כל תבנית *ביליניארית* אפשר לייצג באופן יחיד על ידי מטריצה ריבועית, לפי הנוסחה ${\displaystyle b(x,y)=[x]_{B}^{t}M[y]_{B}}$. בחירת בסיס שונה תוביל למטריצה מייצגת חופפת. לכן, מיון תבניות ביליניאריות עד כדי איזומורפיזם, שקול למיון של מטריצות עד כדי חפיפה. התבנית סימטרית אם ורק אם המטריצה סימטרית.

במאפיין שונה מ-2 כל מטריצה סימטרית חופפת למטריצה אלכסונית, ולכן כל תבנית ריבועית אפשר להציג בצורה אלכסונית : ${\displaystyle q(x_{1},...,x_{n})=a_{1}x_{1}^{2}+...+a_{n}x_{n}^{2}}$, אותה מסמנים ${\displaystyle q=\langle a_{1},...,a_{n}\rangle }$.

מעל הממשיים, המעבר לצורה אלכסונית קובע את סימן סילבסטר של התבנית, השווה למספר המקדמים החיוביים פחות מספר המקדמים השליליים. הסימן קובע את הגאומטריה של המשטח q=0, ואת ההתנהגות של התבנית בסביבת האפס. אם כל הסימנים באלכסון שווים, התבנית חיובית לחלוטין או שלילית לחלוטין. עובדה זו מאפשרת למיין נקודות קיצון של פונקציות בכמה משתנים: סוג הנקודה נקבע על ידי התבנית הריבועית שמשרות הנגזרות השניות (מטריצת הסיאן). אם הנגזרת השנייה בנקודה קריטית היא חיובית לחלוטין, זוהי נקודת מינימום; ואם הנגזרת השנייה שלילית לחלוטין, זוהי נקודת מקסימום.

הרדיקל

תהי ${\displaystyle b}$ תבנית ביליניארית סימטרית, ${\displaystyle U\subseteq V}$ תת-מרחב. נסמן ${\displaystyle U^{\perp }=\{x\in V:b(x,u)=0,\forall u\in U\}}$, זהו המרחב הניצב ל-${\displaystyle U}$ ביחס ל- ${\displaystyle b}$. הרדיקל של התבנית הוא ${\displaystyle \operatorname {rad} (V)=V^{\perp }=\{x\in V|b(x,v)=0,\forall x\in V\}}$. אומרים ש-${\displaystyle b}$ רגולרית אם יש לה רדיקל טריוויאלי - ${\displaystyle \operatorname {rad} (V)={0}}$, ואז המרחב ${\displaystyle (V,b)}$ נקרא מרחב רגולרי. תבנית ביליניארית היא רגולרית אם ורק אם המטריצה המייצגת היא הפיכה.

הרדיקל של תבנית ריבועית ${\displaystyle q}$ מוגדר לפי ${\displaystyle \operatorname {rad} (q)=\{x\in \operatorname {rad} (b_{q}):q(x)=0\}}$. במאפיין שונה מ-2, הרדיקל של תבנית ריבועית הוא הרדיקל של התבנית הביליניארית הסימטרית המייצגת אותה. במאפיין 2 בהחלט ייתכן ש-${\displaystyle \operatorname {rad} (q)\subset \operatorname {rad} (b_{q})}$. תבנית ריבועית ${\displaystyle q}$ היא רגולרית אם ורק אם הרדיקל שלה הוא אפס. במאפיין שונה מ-2, תכונה זו שקולה לכך שהמטריצה המייצגת הפיכה.

בכל מרחב ריבועי יש תת-מרחב רגולרי מקסימלי, שהוא גם איזומורפי למרחב המנה המתקבל מחילוק ברדיקל. אפיון זה מוביל לחקירה של מרחבים ריבועיים רגולריים.

איזוטרופיות ומרחב היפרבולי

יהי ${\displaystyle (V,q)}$ מרחב ריבועי רגולרי. וקטור ${\displaystyle v\in V}$ נקרא איזוטרופי אם ${\displaystyle q(v)=0}$. תת-מרחב ${\displaystyle U\subseteq V}$ נקרא מרחב איזוטרופי (לחלוטין) אם כל ${\displaystyle u\in U}$ איזוטרופי. מרחב בו אין וקטור איזוטרופי נקרא אנאיזוטרופי. לדוגמה, מעל הממשיים (או כל שדה סדור אחר), התבנית ${\displaystyle q(x_{1},...,x_{n})=x_{1}^{2}+...+x_{n}^{2}}$ היא אנאיזוטרופית.

המרחב הדו-ממדי עם התבנית הריבועית ${\displaystyle \ q(x_{1},x_{2})=x_{1}x_{2}}$ נקרא המישור ההיפרבולי (במאפיין שונה מ-2, אפשר להציג אותו גם בצורה ${\displaystyle q(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}$). סכום ישר של עותקים של המישור ההיפרבולי נקרא מרחב היפרבולי.

הממד של תת-מרחב איזוטרופי של V הוא לכל היותר חצי הממד של ${\displaystyle V}$; במאפיין שונה מ-2, אם יש ל-${\displaystyle V}$ תת-מרחב איזוטרופי שממדו חצי הממד של ${\displaystyle V}$, אז ${\displaystyle V}$ מרחב היפרבולי. במאפיין שונה מ-2, המישור ההיפרבולי הוא המישור האיזוטרופי הרגולרי היחיד, וכל מרחב איזוטרופי מכיל עותק (איזומורפי) של מרחב היפרבולי.

המבנה של מרחב ריבועי

כל תבנית ריבועית (מממד סופי, בכל מאפיין) אפשר לפרק באופן יחיד לסכום ישר של שלושה חלקים: המרכיב הרדיקלי שהוא תבנית האפס, מרחב היפרבולי, ומרחב אנאיזוטרופי. התבנית היא רגולרית אם ורק אם המרכיב הרדיקלי שלה טריוויאלי. פירוק זה הוא הבסיס לבנייה של חוג ויט; אינדקס ויט של התבנית הוא מחצית הממד של המרכיב ההיפרבולי.

כל תבנית ריבועית אנאיזוטרופית אפשר לפרק לסכום ישר ${\displaystyle [a_{1},b_{1}]\perp \cdots \perp [a_{t},b_{t}]\perp \langle c_{1},\dots ,c_{s}\rangle }$, כאשר ${\displaystyle [a,b]}$ מייצג את התבנית הריבועית הדו-ממדית ${\displaystyle q(x_{1},x_{2})=ax_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+bx_{2}^{2}}$ ו-${\displaystyle \langle c_{1},\dots ,c_{s}\rangle }$ הוא החלק האלכסוני. במאפיין שונה מ-2 אפשר להניח ש-${\displaystyle t=0}$. תבנית רגולרית, הנשארת רגולרית לאחר כל הרחבת סקלרים, נקראת לא-מנוונת. במאפיין שונה מ-2 כל תבנית רגולרית אינה מנוונת; במאפיין 2, התבנית אינה מנוונת אם ורק אם אפשר להציג אותה כסכום של מרחב היפרבולי ומרחב אנאיזוטרופי שבו ${\displaystyle s=0}$ או ${\displaystyle s=1}$.

ראו גם

• תבנית ביליניארית
• חוג ויט
• תבנית פיסטר
• תבנית קילינג, שהיא תבנית ריבועית הקשורה לאלגברת לי, ומאפשרת לקבוע האם האלגברה פשוטה למחצה.

לקריאה נוספת

• The Algebraic and Geometric Theory of Quadratic Forms, E. Elman, N. Karpenko and A. Merkurjev, AMS Coll Pub 56, 2008.
• עוזי וישנה, מבוא לתבניות ריבועיות, 2014.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא תבנית ריבועית בוויקישיתוף

• תבנית ריבועית, באתר MathWorld (באנגלית)
• תבניות ריבועיות, דף שער בספרייה הלאומית