Loading AI tools
מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, השונות המשותפת (באנגלית: Covariance) היא מדד לקשר בין שני משתנים מקריים. השונות המשותפת חיובית כאשר המשתנים נוטים לסטות מהממוצע באותו כיוון (שניהם מעליו או ששניהם מתחתיו כאשר מתרחש מאורע כלשהו), ושלילית כאשר שני המשתנים סוטים בכיוונים מנוגדים זה לזה כשמאורע כלשהו קורה.
ערך מחפש מקורות | |
אם מנרמלים את השונות המשותפת באמצעות חלוקתה במכפלת סטיות התקן של המשתנים המעורבים, מתקבל מדד הנקרא "מקדם המתאם", שערכו בין 1 ל-1-. אם המקדם קרוב לערכים הקיצוניים, זהו אות לכך שהמשתנים קשורים זה בזה (קשר שעשוי להיות סיבתי, אך אינו בהכרח כזה). אפשר לראות במושג זה הכללה של השונות, משום שהשונות המשותפת של משתנה מקרי עם עצמו, שווה לשונות שלו. השונות המשותפת של משתנים בלתי תלויים שווה לאפס, אך אם השונות המשותפת שווה לאפס, המשתנים אינם בהכרח בלתי תלויים, אלא רק בלתי מתואמים.
נסמן את התוחלות של המשתנים המקריים ו- על ידי ו-. השונות המשותפת של השניים מוגדרת להיות:
או בקצרה:
מאי-שוויון קושי-שוורץ נובע שתמיד , כאשר היא השונות של המשתנה המקרי (וכן ל-). בפרט, השונות המשותפת קיימת (וסופית) כל אימת שלמשתנים ו- יש שונות סופית. מאותה סיבה, הערך המוחלט של מקדם המתאם אינו עולה על 1.
השונות המשותפת היא תבנית ביליניארית, כלומר, , וכן ברכיב הימני. זוהי תבנית סימטרית, שהיא חיובית לחלוטין על מרחב המשתנים המקריים (כאשר מזהים משתנים שההפרש ביניהם קבוע בהסתברות 1), מכיוון שלמשתנה שאינו קבוע בהסתברות 1, יש שונות חיובית. מכאן שהשונות המשותפת מגדירה מכפלה פנימית על מרחב המשתנים המקריים עד-כדי הזיהוי הנזכר לעיל.
אם X הוא וקטור של משתנים מקריים, מסמנים ב- את מטריצת השונויות המשותפות, שהרכיב ה- שלה הוא השונות המשותפת . העתקה ליניארית של המשתנים מביאה לחפיפה של מטריצת השונויות: אם מטריצה קבועה, אז .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.