שדה סדור שלם

באנליזה מתמטית, המונח שדה סדור שלם מתאר שדה סדור, שהוא שלם באחד משני מובנים (שונים), שיתוארו בהמשך. הדוגמה החשובה ביותר לשדה כזה היא שדה המספרים הממשיים, אותו אפשר להגדיר כשדה הסדור השלם הארכימדי היחיד.

הממשיים כשדה סדור שלם

אחת המשימות של ענף המתמטיקה הקרוי אנליזה מתמטית, היא לארגן בצורה פורמלית את המושגים האינטואיטיביים שלנו על המספרים הממשיים. המטרה היא כפולה: ראשית, לזהות את התכונות המהותיות של המספרים הממשיים, שבזכותן הם בעלי תפקיד מרכזי כל-כך במתמטיקה; ושנית, אם יתברר שישנן מערכות אחרות המקיימות אותן תכונות, אפשר יהיה לפתח נושאים מסוימים באנליזה גם עבור מערכות אלה, ולזכות בראייה רחבה יותר של התחום.

כאשר בוחנים את קבוצת המספרים הממשיים, מזהים כמה מאפיינים בולטים. בראש ובראשונה, ניתן להגדיר עבור המספרים האלה פעולות חיבור וכפל, המקיימות כמה אקסיומות חשובות. כל אלה מאוגדים בהצהרה שקבוצת המספרים הממשיים מהווה שדה. שנית, בין המספרים הממשיים יש יחס סדר, שלפיו אורכו של קטע גדול מאורכו של קטע חלקי לו. יחס זה מתואם עם פעולות השדה, וכך הופכים המספרים הממשיים להיות שדה סדור.

העובדה שמערכת המספרים שבה מטפלים מהווה שדה סדור, עדיין אינה מספיקה להפעלת השיקולים היסודיים של האנליזה. לדוגמה, שדה המספרים הרציונליים הוא שדה סדור, שבו לא קיימים אפילו שורשים ריבועיים. מבחינה אנליטית, אלו 'חורים' במערכת, שיש להפטר מהם. כדי להשלים את התמונה, יש לצרף תכונה טופולוגית של שדה המספרים הממשיים - העובדה שמדובר במרחב מטרי "שלם".

אלא שכאן מתברר שיש, תאורטית, שתי אפשרויות לאפיין מערכת מספרים נטולת חורים - שכן השדה הסדור הוא בעת ובעונה אחת גם מרחב מטרי וגם קבוצה סדורה. מנקודת המבט הראשונה, ישנה בטופולוגיה הגדרה מקובלת למרחב מטרי שלם, הקשורה בקיום גבול לסדרות מתאימות. מנקודת המבט השנייה, כאשר מדובר בקבוצה סדורה, יש הגדרה שימושית אחרת, הנוגעת לקיומם של חסמים מדויקים לקבוצות חסומות. משום כך, למונח שדה סדור שלם יש שתי משמעויות אפשריות (שתוצגנה במדויק בהמשך).

תכונה חשובה נוספת של המספרים הממשיים - הם מקיימים את תכונת ארכימדס: אפשר להגיע לכל מרחק (גדול ככל שיהיה) אם צועדים מספיק צעדים באורך חיובי וקבוע (ויהיה אורך הצעדים קטן ככל שיהיה). מתברר שעבור שדה סדור ארכימדי, שתי ההגדרות האפשריות למושג השלמות, מתלכדות.

את יסודות האנליזה המתמטית אפשר לפתח מעל כל שדה סדור שלם, גם אם מדובר בשלמות במובן החלש יותר, ללא תכונת ארכימדס. מאידך, התכונות שנדונו כאן מספיקות כדי לאפיין את שדה המספרים הממשיים: זהו השדה הסדור הארכימדי השלם היחיד (עד כדי איזומורפיזם).

הגדרות של שלמות עבור שדה סדור

מבחינה לוגית התאוריה של שדות סדורים קודמת לזו של השדה הממשי, ולכן בערך זה נשתמש בכמה מושגים מקובלים באנליזה במשמעות כללית יותר מהרגיל, שאינה נסמכת על קיומו של השדה הממשי.

מטריקה היא פונקציה המקיימת כמה אקסיומות, שערכיה הם מספרים ממשיים. פונקציה המקיימת אותן אקסיומות ומחזירה ערכים בשדה סדור (לאו דווקא בשדה הממשי), נקראת 'מטריקה מוכללת', ומרחב המצויד בפונקציה כזו הוא 'מרחב מטרי מוכלל'. כל שדה סדור הוא מרחב מטרי מוכלל: פונקציית המרחק ${\displaystyle \ d(x,y)=|x-y|}$ מקיימת את כל הדרישות הרגילות, ומחזירה ערכים בשדה עצמו.

אפשר לשאול את מושג ההתכנסות מן התאוריה של מרחבים מטריים, ולהגדיר סדרות מתכנסות וסדרות קושי בכל מרחב מטרי מוכלל, בדומה להגדרה הרגילה. כך, מרחב מטרי מוכלל הוא מרחב שלם, אם כל סדרת קושי בו מתכנסת. באופן דומה אפשר לאמץ את ההגדרות המקובלות של קבוצה חסומה ושל חסם עליון.

ישנן שתי הגדרות רלוונטיות:

1. השדה שלם בתור מרחב מטרי מוכלל (ואז השדה שלם במובן של סדרות).
2. לכל קבוצה חסומה מלעיל בשדה יש חסם עליון (ואז השדה שלם במובן של חסמים).

משפט: שדה סדור הוא שלם במובן של חסמים, אם ורק אם הוא ארכימדי, ושלם במובן של סדרות.

הוכחה: נניח ש- F הוא שדה סדור שלם, במובן של חסמים. נניח שסדרת המספרים הטבעיים חסומה מלעיל, אז יש לה חסם עליון M; גם M-1 הוא חסם מלעיל של הקבוצה, וזו סתירה להנחה ש- M חסם עליון. מכאן שהשדה ארכימדי.

נניח ש- ${\displaystyle \ \{x_{n}\}}$ סדרת קושי; לכל i נסמן ב- ${\displaystyle \ t_{i}}$ את החסם התחתון של הקבוצה ${\displaystyle \ \{x_{i},x_{i+1},\dots \}}$. נסמן ב- t את החסם העליון של הקבוצה ${\displaystyle \ \{t_{1},t_{2},\dots \}}$. לכל n קיים i כך ש- ${\displaystyle \ t-1/n<t_{i}\leq t}$, וקיים ${\displaystyle \ m_{n}}$ כך ש- ${\displaystyle \ t_{i}\leq x_{m_{n}}<t_{i}+1/n}$. לכן ${\displaystyle \ t-1/n<x_{m_{n}}<t+1/n}$, ותת-הסדרה ${\displaystyle \ x_{m_{n}}}$ מתכנסת ל- t. לכן גם הסדרה ${\displaystyle \ x_{n}}$ מתכנסת לאותו גבול.

כעת נניח ש- F שדה סדור ארכימדי, שהוא שלם במובן של סדרות. תהי A קבוצה חסומה מלעיל. לכל n, קיים ${\displaystyle \ t_{n}}$ שהוא חסם מלעיל של הקבוצה, כך ש- ${\displaystyle \ t_{n}-1/n}$ אינו חסם מלעיל (קיומו של איבר כזה נובע מן הארכימדיות). קל להוכיח שהסדרה המתקבלת היא סדרת קושי, ושגבולה הוא חסם עליון של A.

מושג השלמות במובן של חסמים עשוי לחול כמובן על סתם קבוצה סדורה (שאינה שדה). הממשיים עם הסדר הטבעי הם הקבוצה הסדורה היחידה שהיא שלמה, ספרבילית (יש בה קבוצה בת-מניה צפופה) ואין בה איבר ראשון או אחרון.