שבר מחזורי
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
במתמטיקה, שבר מחזורי הוא ביטוי אינסופי הכתוב כשבר עשרוני על-פי השיטה העשרונית או שיטת ספירה אחרת, שבו הספרות שמימין לנקודה העשרונית חוזרות על עצמן ממקום מסוים ואילך. לדוגמה, . ביטוי כזה מייצג מספר רציונלי, כלומר, מנה של שני מספרים שלמים (הקרויה גם שבר).
את המחזור מקובל לציין בקו מחבר מעל לספרות החוזרות: כותבים במקום
, ו-
במקום
.
לכל מספר רציונלי חיובי יש הצגה כביטוי עשרוני
, שבו
הוא מספר שלם, ואילו
המופיעים אחרי הנקודה הם ספרות מהקבוצה
. בהנחה שהשבר
מצומצם, יש לו הצגה סופית (כזו שבה הספרות
שוות לאפס ממקום מסוים ואילך) אם ורק אם
מחלק חזקה כלשהי של 10; בכל מקרה אחר, יש לו הצגה (יחידה) כשבר מחזורי. טענה זו נכונה בכל בסיס: הפיתוח הוא סופי אם ורק אם המכנה מחלק חזקה כלשהי של הבסיס, ואחרת הפיתוח מחזורי (השבר
, למשל הוא שבר מחזורי בשיטה העשרונית, אך יש לו הצגה סופית בבסיס טרנרי, שבו ערכו 0.1).
את השבר המחזורי אפשר להציג גם כביטוי עשרוני סופי - הוא שווה ל-1. כך הדבר בכל שבר מחזורי שבו המחזור מורכב מן הספרה 9 (ובבסיס b, בכל שבר מחזורי שבו המחזור מורכב מן הספרה b-1). להרחבה בנושא ראו 0.999....
המחזור אינו מתחיל בהכרח בספרה הראשונה שמימין לנקודה העשרונית - השבר , למשל, נכתב בצורה ...0.16666, כלומר המחזור שלו כולל את הספרה 6, שמופיעה החל מהמקום השני מימין לנקודה.