באנליזה מרוכבת, קוטב של פונקציה מרוכבת הוא סוג מסוים של נקודת סינגולריות של הפונקציה (הסוגים האחרים הם סינגולריות סליקה וסינגולריות עיקרית). קוטב היא נקודה בה הפונקציה שואפת לאינסוף בערכה המוחלט.
ערך מחפש מקורות | |
נקודה נקראת קוטב של פונקציה מרוכבת , אם הפונקציה אנליטית בסביבה מנוקבת של הנקודה, ומתקיים .
המספר n הקטן ביותר שעבורו הגבול קיים, נקרא הסדר של הקוטב. מספר זה תמיד קיים, והגבול עבורו שונה מאפס. קוטב מסדר 1 נקרא קוטב פשוט. עבור קוטב פשוט, השארית של הקוטב מוגדרת להיות הגבול .
באופן שקול, ניתן לומר שה־n עבורו הגבול קיים, סופי ושונה מאפס הוא סדר הקוטב.
הפונקציה ניתנת לפיתוח לטור לורן סביב קוטב מסדר סופי, כאשר הפיתוח מתחיל מהחזקה השלילית . כלומר, . באופן שקול, יש כך שלפונקציה יש נקודה סינגולרית סליקה ב- .
הגבול , עבור מקבל את הערכים הבאים:
- אם .
- אם .
- אם .
- לפונקציה קיים קוטב מסדר בנקודה .
- לפונקציה קיים קוטב מסדר בנקודה . כדי להיווכח בזה די לזכור שהפיתוח לטור טיילור של הוא: , ולכן .
- לפונקציה אין קוטב בנקודה אלא סינגולריות עיקרית.
כשמרחיבים את ההגדרה של פונקציה מרוכבת אל הקומפקטיפיקציה של המישור המרוכב (כלומר, מוסיפים להגדרה את נקודת האינסוף, כמו בספירת רימן), הנקודה נחשבת לקוטב של מאותו סוג וסדר של הקוטב בפונקציה .
פונקציה מרוכבת שכל נקודות הסינגולריות שלה הן קטבים נקראת פונקציה מרומורפית.
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.