Loading AI tools
סוג של קבוצת נקודות במרחב וקטורי מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, קבוצת נקודות במרחב וקטורי היא קמורה אם לכל שתי נקודות שבתוכה, גם הקטע המחבר את שתי הנקודות נמצא כולו בתוכה. למשל, משולש, עיגול או מקבילית הן צורות קמורות, אבל טבעת או פרסה אינן צורות קמורות.
מושג הקמירות מופיע גם בהקשר של פונקציות. הגדרה שקולה לפונקציה קמורה היא פונקציה כך שקבוצת הנקודות שנמצאות מעל הגרף שלה היא קבוצה קמורה. יחד עם זאת, בעוד שבפונקציות קיים המושג הנגדי פונקציה קעורה, אין משמעות למונח "קבוצה קעורה". קבוצה יכולה להיות קמורה או לא-קמורה.
לקמירות שימושים ברבים מתחומי המתמטיקה. למשל, בתחום האנליזה הפונקציונלית, אם קבוצה במרחב הילברט כלשהו היא קמורה וסגורה, זה מבטיח שלכל נקודה במרחב קיימת נקודה אחת ויחידה בקבוצה שמרחקה ממנה מינימלי. לפי משפט נקודת השבת של בראואר, לכל פונקציה רציפה מקבוצה קומפקטית קמורה במרחב האוקלידי אל עצמה, יש נקודת שבת.
תהא קבוצה כלשהי במרחב וקטורי ממשי. נאמר כי קמורה אם ורק אם לכל שתי נקודות ולכל מתקיים .
במרחבים נורמיים אפשר להכליל את מושג הקמירות לתכונה חזקה יותר. קבוצה K במרחב נורמי נקראת -קמורה או Perfectly Convex אם לכל סדרת מספרים ממשיים חיוביים שסכומה 1, ולכל סדרת נקודות מתקיים: . כל קבוצה סיגמא-קמורה היא קמורה.
את מושג הקמירות אפשר להכליל לכל מרחב מטרי. קבוצה C במרחב מטרי היא קמורה, אם כל שתי נקודות אפשר לחבר על ידי עקום גאודזי (דהיינו תמונה איזומטרית של קטע) שעובר כולו ב-C. מושג הקמירות הזה מכליל את ההגדרה הקודמת, משום שבמרחב נורמי ממשי עקום גאודזי אינו אלא קטע. תכונה חלשה יותר נקראת קמירות מנגר (Menger), ודורשת רק שלכל שתי נקודות (שונות) x,y ב-C תהיה קיימת נקודה z ב-C הנמצאת ביניהן (כלומר , כאשר d היא המטריקה של המרחב). קבוצה קמורה היא גם קמורת-מנגר, אבל לא להפך. עם זאת, במרחב מטרי שלם, המושגים מתלכדים.
בהינתן קבוצה ואוסף של תתי-קבוצות של , נאמר שהזוג הוא מרחב קמירות אם מתקיים:
לאיברים ב- קוראים קבוצות קמורות.
הקמור של קבוצת נקודות הוא הצורה הקמורה הקטנה ביותר שמכילה את הנקודות; הקמור הוא החיתוך של כל הקבוצות הקמורות שמכילות את קבוצת הנקודות.
בכתיב מתמטי, לכל מרחב וקטורי מעל הממשיים ולכל הקמור של מוגדר להיות:
בגלל שהמרחב הווקטורי הוא קבוצה קמורה בעצמו, הקמור של מוגדר היטב מכיוון שהוא מהווה חיתוך של לכל הפחות קבוצה אחת.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.