Loading AI tools
מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
פונקציית דיריכלה היא פונקציה ממשית המקבלת את הערך 1 עבור כל מספר רציונלי ואת הערך 0 עבור כל מספר אי רציונלי. כלומר זוהי הפונקציה המציינת של קבוצת המספרים הרציונליים על הישר:
ערך מחפש מקורות | |
מקורות מסוימים מגדירים את פונקציית דיריכלה דווקא כפונקציה המציינת של המספרים האי-רציונליים. הפונקציה נחקרה לראשונה על ידי המתמטיקאי הגרמני יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה.
פונקציית דיריכלה מוגדרת על כל הישר הממשי, והיא מתאפיינת בתכונות מעניינות:
בשל תכונות אלו משמשת פונקציית דיריכלה לעיתים קרובות בתור דוגמה נגדית, כדי להראות שתכונה כלשהי, המתקיימת בפונקציות ממשיות רבות, אינה מתקיימת בכולן.
הווריאציה של פונקציית דיריכלה מספקת דוגמה לפונקציה שרציפה בנקודה 0 בלבד, והווריאציה מספקת דוגמה לפונקציה גזירה בנקודה 0 בלבד.
אחת המסקנות ממשפט הקטגוריה של בייר היא שכל סדרת פונקציות רציפות המתכנסת נקודתית, מתכנסת לפונקציה שקבוצת נקודות האי רציפות שלה היא מקטגוריה ראשונה. לכן פונקציית דיריכלה, שאינה רציפה באף נקודה, אינה גבול של אף סדרת פונקציות רציפות בשום קטע. עם זאת, פונקציית דיריכלה היא גבול כפול של סדרת פונקציות רציפות:
לכן פונקציית דיריכלה היא פונקציית בייר מסדר שני.
פונקציית דיריכלה אינה רציפה משום שאין לה גבול באף נקודה. לפונקציה יש גבול בנקודה 0, למרות שאינה רציפה באף נקודה. אם יש לפונקציה גבול בכל נקודה, אז קבוצת נקודות אי-הרציפות שלה לכל היותר בת-מניה.[1]
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.