סביבה (מתמטיקה)

בטופולוגיה ויישומיה, סביבה של נקודה היא קבוצה של נקודות העוטפת, אינטואיטיבית, את הנקודה הנתונה.

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

סביבות משתמשות לתאר התנהגות מקומית של אובייקטים מתמטיים במרחב הטופולוגי. כך למשל ניתן להגדיר פונקציה רציפה בנקודה מסוימת על-פי התנהגותה בכל סביבה של נקודה זו. באופן דומה ניתן לנסח תכונות מקומיות של מרחב טופולוגי באמצעות הסביבות של כל נקודה במרחב, כדוגמת קומפקטיות מקומית או קמירות מקומית.

הגדרה פורמלית

פורמלית, במרחב טופולוגי נתון, סביבה של ${\displaystyle a}$ היא קבוצה המכילה קבוצה פתוחה ש-${\displaystyle a}$ שייכת אליה. כלומר, בהינתן ${\displaystyle (X,\tau )}$ מרחב טופולוגי, נאמר ש-${\displaystyle N}$ סביבה של ${\displaystyle a\in X}$ אם קיימת קבוצה פתוחה ${\displaystyle U\in \tau }$ כך ש-${\displaystyle a\in U\subset N}$.^[1]

סביבה מנוקבת (או סביבה נקובה) של הנקודה היא סביבה כנ"ל, פרט לנקודה עצמה. דהיינו, אם הקבוצה ${\displaystyle A}$ היא סביבה של נקודה ${\displaystyle a}$, אזי הקבוצה ${\displaystyle A\setminus \{a\}}$ היא סביבה מנוקבת של נקודה ${\displaystyle a}$.

סביבה שהיא קבוצה פתוחה בעצמה, נקראת סביבה פתוחה.

מערכת סביבות ובסיס מקומי

עבור מרחב טופולוגי ${\displaystyle (X,\tau )}$ כלשהו ונקודה ${\displaystyle x\in X}$ כלשהי, נהוג לסמן ב-${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ את קבוצת כל הסביבות של ${\displaystyle x}$. ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ זו נקראת מערכת הסביבות של ${\displaystyle x}$ (neighborhood system)^[2]. מערכת הסביבות של כל נקודה ${\displaystyle x\in X}$ כלשהי מהווה מסנן.

קבוצה ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$ תקרא בסיס סביבתי של ${\displaystyle x}$ (neighborhood base) או בסיס מקומי של ${\displaystyle x}$ (local base) אם ורק אם כל סביבה של ${\displaystyle x}$ מכילה איבר מ-${\displaystyle {\mathcal {B}}}$. פורמלית, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ בסיס מקומי אם לכל ${\displaystyle A\in {\mathcal {N}}(x)}$ קיים ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ כך ש-${\displaystyle B\subseteq A}$.^[3]

באמצעות הבסיס המקומי של נקודה כלשהי ניתן לחקור את התנהגות המרחב או אובייקט במרחב בנקודה זו. כך למשל במקרה של פונקציה רציפה, מספיק להוכיח את תנאי הרציפות לבסיס המקומי על-מנת להוכיחו לכל סביבה כלשהי.

במקרה של מרחב וקטורי טופולוגי, ניתן להשתמש בבסיס המקומי על-מנת להגדיר בסיס לכל המרחב הטופולוגי כולו, זאת על ידי פעולות של הזזה.

דוגמאות

• במרחב מטרי, סביבה היא קבוצה המכילה כדור פתוח סביב הנקודה. במרחב מטרי משתמשים לעיתים במונח "${\displaystyle \varepsilon }$-סביבה", כדי לציין סביבה המהווה כדור ברדיוס ${\displaystyle \varepsilon }$ שמרכזו בנקודה, באותו אופן, משתמשים לעיתים במונח "${\displaystyle \varepsilon }$-סביבה מנוקבת" לציון סביבה של כדור המהווה כדור ברדיוס ${\displaystyle \varepsilon }$ שמרכזו בנקודה, ממנו הוציאו את הנקודה.

• סביבה של נקודה על הישר הממשי היא קבוצה המכילה קטע פתוח שהנקודה שייכת אליו. סביבה של נקודה במישור האוקלידי ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ היא קבוצה המכילה עיגול פתוח שהנקודה שייכת אליו. סביבה של נקודה במרחב האוקלידי התלת-ממדי ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ היא קבוצה המכילה כדור פתוח שהנקודה שייכת אליו.

תיאור גרפי של סביבה פתוחה של הנקודה ${\displaystyle a}$ המוגדרת על ידי ${\displaystyle B_{\varepsilon }(a)=(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )=\{x\in \mathbb {R}$ :|x-a|<\varepsilon \}}

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא סביבה בוויקישיתוף

• סביבה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. neighborhood in nLab, ncatlab.org
2. Neighborhood of a Point | eMathZone, ‏2014-08-03 (באנגלית)
3. neighborhood base in nLab, ncatlab.org