נניח כי ו- הן שתי פונקציות גזירות בסביבה מנוקבת של נקודה a (ממשית, או ), וש-. אם הגבול קיים, אז גם הגבול קיים, ושווה ל .
הוכחה
לכל קיים כך שלכל המקיים מתקיים ולכן, לפי משפט הערך הממוצע של קושי
לכל המקיימים .
אם נשאיר את קבוע ואת נשאיף ל נקבל
כלומר, כאשר .
לכן, . מש"ל.
נניח כי ו- הן שתי פונקציות גזירות בסביבה מנוקבת של נקודה a (ממשית, או ), וש-. אם הגבול קיים, אז גם הגבול קיים, ושווה ל .
הוכחה
לכל קיים כך שלכל המקיים מתקיים ולכן, לפי משפט הערך הממוצע של קושי מתקיים
לכל המקיימים .
נגדיר
נשים לב ש
נשים לב שאם נשאיר את קבוע ואם יהיה נקבל .
מכאן קל להוכיח שעבור קבוע המקיים קיים כך שלכל כך ש מתקיים וכן,
לכן,
בעזרת הכלל ניתן לחשב גם גבולות מהצורה :
נניח כי ואנו רוצים לחשב את
אז
וניתן להשתמש על ביטויים אלו בכלל לופיטל.
נניח כי ואנו רוצים לחשב את .
אז מתקיים:
וכעת יש במעריך גבול מהצורה שבו כבר יודעים לטפל.
- לכל n טבעי, נחשב את הגבול חלקי כאשר שואף לאינסוף. זהו גבול של אינסוף חלקי אינסוף ולכן נחשבו באמצעות הפעלה חוזרת של כלל לופיטל נקבל:
- זאת כי והאקספוננט שואף לאינסוף כאשר x שואף לאינסוף.
- זאת כי .
- בכך הוכחנו שעבור מספרים מתקיים .
- השימוש בכלל לופיטל לא תמיד מצליח לפשט את הביטוי הנתון, למשל בדוגמה שלהלן:
- מאחר ש אזי ברור שהגבול שווה ל-1. אבל מאחר ש:
- ו
- אם נשתמש בכלל לופיטל נקבל (בגלל רציפות פונקציית האקספוננט) ש:
- כלומר, כלל לופיטל מחזיר אותנו לאותו גבול שהתחלנו איתו ולכן הוא לא עוזר לחשב גבול זה.
- יש להיזהר מהוכחות מעגליות. למשל, לעיתים קרובות נוטים לחשב את הגבול בעזרת כלל לופיטל.
- מכיוון שהנגזרת של סינוס היא קוסינוס, מתקבל:
- אולם, מכיוון שמקובל להוכיח שהנגזרת של סינוס היא קוסינוס בעזרת שימוש בגבול של sin(x)/x, מתקבלת הוכחה מעגלית. ניתן לפתור בעיה זו אם מגדירים את פונקציות הסינוס והקוסינוס בעזרת טורי מקלורין (טורי טיילור בנקודה 0), ומוכיחים את נכונות הנגזרות באמצעות גזירת הטורים.