חוג השלמים האלגבריים

חוג השלמים האלגברים הוא חוג הכולל את כל המספרים האלגברים שהם פתרונות של פולינום מתוקן עם מקדמים שלמים. החוג הזה הוא תת-חוג של שדה המספרים האלגברים. חוג השלמים האלגבריים הוא תחום פרופר שאינו תחום דדקינד.

ערך מחפש מקורות

הגדרות שקולות לשלם אלגברי

בהינתן ${\displaystyle K}$ הרחבה סופית של שדה המספרים הרציונליים, אז ההגדרות הבאות שקולות:

• ${\displaystyle \alpha \in K}$ הוא שלם אלגברי אם קיים פולינום מתוקן ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {Z} [x]}$ כך ש- ${\displaystyle f(\alpha )=0}$.
• ${\displaystyle \alpha \in K}$ הוא שלם אלגברי אם הפולינום המתוקן המינימלי של ${\displaystyle \alpha }$ מעל ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ שייך ל-${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$.
• ${\displaystyle \alpha \in K}$ הוא שלם אלגברי אם הוא איבר שלם של ההרחבה הסופית ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$.

דוגמאות לאיברים

• כל מספר שלם הוא שלם אלגברי.
• כל שורש יחידה הוא שלם אלגברי.

קישורים חיצוניים

• חוג השלמים האלגבריים, באתר MathWorld (באנגלית)