פונקציית תטא

במתמטיקה, פונקציות תטא הן פונקציות מיוחדות (אנ') עם מספר משתנים מרוכבים. הן נדבך חשוב בתחומים רבים, כולל התאוריות Abelian varieties ו moduli spaces של תבניות ריבועיות. הן יושמו גם בתאוריית סוליטון.

פונקציית תטא המקורית של ג'קובי כאשר θ₁ עם u = iπz ו q = e^iπτ = 0.1e^0.1iπ. כאשר (Mathematica): ${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(u;q)&=2q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}\sin(2n+1)u\\&=\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }(-1)^{n-{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}e^{(2n+1)iu}\end{aligned}}}$

כאשר מוכללות לאלגברה גרסמנית (Grassmann algebra), הן מופיעות גם בתורת השדות הקוונטית.

הצורה הנפוצה ביותר של פונקציית תטא היא זו צורתה תאוריה של פונקציות אליפטיות. ביחס לאחד המשתנים המרוכבים (בדרך כלל מסומן באות z), לפונקציה תטא תכונה המבטאת את התנהגותה ביחס לתוספת בפונקציה האליפטית הרלוונטית, והופכת אותה לפונקציה קואדרו-פריודית. באופן מופשט זה נובע מתנאי "line bundle" של דעיכה.

לקריאה נוספת

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover Publications. sec. 16.27ff. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Akhiezer, Naum Illyich (1990) [1970]. Elements of the Theory of Elliptic Functions. AMS Translations of Mathematical Monographs. Vol. 79. Providence, RI: AMS. ISBN 978-0-8218-4532-5.
• Farkas, Hershel M.; Kra, Irwin (1980). Riemann Surfaces. New York: Springer-Verlag. ch. 6. ISBN 978-0-387-90465-8.. (for treatment of the Riemann theta)
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1959). An Introduction to the Theory of Numbers (4th ed.). Oxford: Clarendon Press.
• Mumford, David (1983). Tata Lectures on Theta I. Boston: Birkhauser. ISBN 978-3-7643-3109-2.
• Pierpont, James (1959). Functions of a Complex Variable. New York: Dover Publications.
• Rauch, Harry E.; Farkas, Hershel M. (1974). Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces. Baltimore: Williams & Wilkins. ISBN 978-0-683-07196-2.
• Reinhardt, William P.; Walker, Peter L. (2010), "Theta Functions", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1927). A Course in Modern Analysis (4th ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ch. 21. (history of Jacobi's θ functions)

קישורים חיצוניים

• פונקציית תטא, באתר MathWorld (באנגלית)