תת-חבורה טהורה

בתורת החבורות, תת-חבורה טהורה (באנגלית: Pure subgroup) של חבורה אבלית A היא תת-חבורה B המקיימת את התנאי ${\displaystyle B\cap nA=nB}$ לכל n טבעי. זוהי הכללה של מושג המחובר הישר (כל מחובר ישר הוא טהור), שהציע היינץ פרופר ב-1923.

תת-חבורה טהורה של תת-חבורה טהורה היא טהורה. כל תת-חבורה חליקה היא טהורה. תת-חבורת הפיתול של חבורה אבלית היא טהורה. אם המנה A/B חסרת פיתול אז B תת-חבורה טהורה. תת-חבורה של חבורה חליקה היא טהורה אם ורק אם היא חליקה. בחבורה חסרת פיתול, החיתוך של תת-חבורות טהורות הוא טהור, ולכן כל תת-חבורה מוכלת בתת-חבורה טהורה מינימלית (זוהי פעולת סגור בסריג תת-החבורות). כל מחובר ישר הוא טהור. האיחוד על פני שרשרת של תת-חבורות טהורות הוא טהור; תכונה זו מאפשרת להפעיל את הלמה של צורן ולקבל במצבים מתאימים תת-חבורות טהורות מקסימליות.

מקורות

• I. Kaplansky, Infinite abelian groups, 1954.