שטיח שרפינסקי

שטיח שרפינסקי הוא פרקטל שיצר המתמטיקאי הפולני ואצלב שרפינסקי בשנת 1916, שנה לאחר משולש שרפינסקי.

שטיח שרפינסקי 6 צעדים ראשונים

ניתן לבנות את השטיח על ידי חיתוך ריבוע ל-9 תת-ריבועים שווים בגודלם בתבנית של 3X3 תוך סילוק הריבוע המרכזי, והמשך רקורסיבי עד אינסוף. סילוק החלק הפנימי מותיר תמיד קבוצה סגורה והשטיח הוא קבוצת כל החיתוכים. לפי משפט היינה-בורל קבוצה זו היא קבוצה קומפקטית.

טכניקה דומה בשלושה ממדים המבוססת על קוביות יוצרת את ספוג מנגר.

ממד האוסדורף או המימד הפרקטאלי של השטיח שווה ל-${\displaystyle {\frac {\log 8}{\log 3}}=1.892789\ldots }$

היות שבכל שלב בונים 8 העתקים בגודל שליש מהצורה הקודמת.

השטיח הוא הכללה אחת של קבוצת קנטור לשני ממדים ועוצמתו היא עוצמת הרצף. ההכללה השנייה היא אבק קנטור. עם זאת במידת לבג שטח השטיח הוא אפס: בתהליך אינסופי שטחו "מתרוקן".

הוכח שהפיזור בהילוך מקרי בשטיח שרפינסקי איטי יותר מאשר בתנועת בראון ^[1].

חישוב שטחו של השטיח

יהי x אורך צלע הריבוע ו-y מספר הצעדים, נוסחת שטח השטיח היא:

${\displaystyle \left({\frac {x}{3^{y}}}\right)^{2}\times 8^{y}=x^{2}\times \left({\frac {8}{9}}\right)^{y}}$

לדוגמה, ריבוע שאורכו 100 מטר ושטחו 10000 מ"ר, יקטן לאחר שני צעדים ל:

${\displaystyle \left({\frac {100}{3^{2}}}\right)^{2}\times 8^{2}={\frac {100^{2}}{9^{2}}}\times 64={\frac {640000}{81}}=7901.2345679}$

ככל שמספר הצעדים יגדל, השטח יקטן.

יישום

בטלפון סלולרי וWi-Fi קיים סוג אנטנה הנקרא פרקטלי, הבנוי על מספר איטרציות של שטיח שרפינסקי. האנטנה מתאימה לטיפול במספר רב של תדרים, היא קלה לייצור וקטנה מאנטנות רגילות בעלות אותם ביצועים.

תהליך

• ‏6 צעדים ראשונים ביצירת השטיח
• 
  ‏צעד 1
• 
  ‏צעד 2
• 
  ‏צעד 3
• 
  ‏צעד 4
• 
  ‏צעד 5
• 
  ‏צעד 6

תוכנית מחשב

יישומון בשפת ג'אווה ליצירת שטיח שרפינסקי באמצעות מתודה רקורסיבית:

import java.awt.*;
import java.applet.*;

public class SierpinskiCarpet extends Applet
{
    private Graphics g = null;
    private int d0 = 729; // 3^6

    public void init()
    {
        g = getGraphics();
        resize(d0, d0);
    }

    public void paint(Graphics g)
    {
        // Rekursion starten:
        drawSierpinskiCarpet (0, 0, getWidth(), getHeight() );
    }

    private void drawSierpinskiCarpet(int xOL, int yOL, int width1, int height1)
    {
        if (width1>2 && height1>2)
        {
            int b = width1/3;
            int h = height1/3;
            g.fillRect (xOL+b, yOL+h, b, h);
            for (int k=0; k<9; k++) if (k!=4)
            {
                int i=k/3;
                int j=k%3;
                drawSierpinskiCarpet (xOL+i*b, yOL+j*h, b, h); // Rekursion
            }
        }
    }
}

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא שטיח שרפינסקי בוויקישיתוף

• שטיח שרפינסקי, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. Barlow, Martin; Bass, Richard, Brownian motion and harmonic analysis on Sierpinski carpets (PDF)