שדה ארכימדי

במתמטיקה, שדה ארכימדי הוא שדה סדור המקיים את תכונת ארכימדס, שפירושה הוא שאיברי השדה אינם יכולים להיות גדולים מכל מספר טבעי. לדוגמה, השדה הממשי הוא שדה ארכימדי, בעוד שהשדה ${\displaystyle \ \mathbb {R} ((x))}$ של טורי לורן מעל השדה הממשי, אינו ארכימדי. ידוע שכל שדה ארכימדי הוא תת-שדה של שדה המספרים הממשיים.

ערך מחפש מקורות

תכונת ארכימדס ושדה ארכימדי קרויים על שם ארכימדס מסירקוזה, שקבע שניתן להשוות כל שני קטעים ממשיים: אם מניחים עותקים של הקטע הקצר בזה אחר זה, בסופו של דבר אפשר יהיה לעבור את הקטע הארוך. בניסוח מודרני, זוהי בדיוק תכונת הארכימדיות של השדה הממשי.

מושג הארכימדיות יוחס לראשונה באופן מפורש לשדות בסביבות 1900, על ידי המתמטיקאי האוסטרי אוטו שטולץ (אנ') (1842-1905).

הגדרה

כל שדה סדור הוא בעל מאפיין 0, ולכן מכיל עותק של המספרים הרציונליים והשלמים.

התכונות הבאות שקולות זו לזו, ושדה סדור המקיים אותן הוא ארכימדי:

• לכל איבר a בשדה, קיים מספר טבעי כך ש- ${\displaystyle \ a<n}$.
• לכל איבר חיובי a בשדה, קיים n טבעי כך ש- ${\displaystyle \ 1/n<a}$.
• קבוצת המספרים הטבעיים אינה חסומה בשדה.
• קבוצת המספרים הרציונליים צפופה בשדה (במובן של קבוצות סדורות: בין כל שני מספרים יש מספר רציונלי).

בתכונת ארכימדס משתמשים כדי לנסח מחדש מושגי יסוד באנליזה, כמו למשל התכנסות של סדרה. על-פי ההגדרה המקובלת, סדרה ${\displaystyle \ \{a_{n}\}}$ מתכנסת לגבול a אם לכל ${\displaystyle \ 0<\epsilon }$, מרחקם של אברי הסדרה מ- a, ממקום מסוים ואילך, קטן מ- ${\displaystyle \ \epsilon }$. הארכימדיות מאפשרת להחליף את ${\displaystyle \ \epsilon }$ במספר מהצורה ${\displaystyle \ 1/n}$, ובכך לבנות סדרות שבהן האיבר ה- n-י תלוי ב- n.

קשר לתכונות אחרות

תכונת ארכימדס מתקיימת בכל שדה סדור שהוא שלם במובן של קיום חסם עליון, אבל אינה נובעת מן התכונה החלשה יותר, של שלמות במובן הטופולוגי. מצד שני, בשדה סדור ארכימדי, שני התנאים לשלמות מתלכדים. לפרטים, ראו שדה סדור שלם.

ארכימדיות עוברת בתורשה לתת-שדות (כל תת שדה של שדה ארכימדי הוא ארכימדי).

שדה סדור שהוא גם שלם (במובן של חסמים, ולכן ארכימדי), לא ניתן להרחיב תוך שמירה על הארכימדיות:

משפט: אם ${\displaystyle \ F\subseteq K}$ שניהם שדות סדורים ארכימדיים, ו- ${\displaystyle \ F}$ שלם, אז ${\displaystyle \ K=F}$.

הוכחה: נניח ש- ${\displaystyle \ x\in K}$. מן הארכימדיות של ${\displaystyle \ K}$ נובע שהקבוצה ${\displaystyle \ A=\{a\in F:a<x\}}$ חסומה על ידי מספר טבעי, ולכן היא חסומה גם ב- ${\displaystyle \ F}$. נסמן ב- ${\displaystyle \ t\in F}$ את החסם העליון שלה. אם ${\displaystyle \ x>t}$ אז קיים ${\displaystyle \ n}$ טבעי כך ש- ${\displaystyle \ x-t>1/n}$ ואז ${\displaystyle \ t+1/n\in A}$, סתירה להגדרת ${\displaystyle \ t}$. מצד שני אם ${\displaystyle \ x<t}$ אז קיים ${\displaystyle \ n}$ טבעי כך ש- ${\displaystyle \ t-x>1/n}$ ואז ${\displaystyle \ A\not \ni t-1/n}$, שוב סתירה. לכן ${\displaystyle \ x=t\in F}$.

לכל שדה ארכימדי ${\displaystyle F}$ אפשר לבנות את השדה ${\displaystyle \ {\hat {F}}}$ של חתכי דדקינד ב-${\displaystyle F}$. שדה זה הוא שלם (במובן של חסמים, ולכן ארכימדי), ו- F צפוף בו. על-פי ההגדרה, שדה המספרים הממשיים הוא ההשלמה ${\displaystyle \ \mathbb {R} ={\hat {\mathbb {Q} }}}$ של שדה הרציונליים. מכיוון ש- ${\displaystyle F}$ מכיל עותק של ${\displaystyle \ \mathbb {Q} }$, יש שיכון ${\displaystyle \ \mathbb {R} ={\hat {\mathbb {Q} }}\hookrightarrow {\hat {F}}}$. אבל כאן שני השדות שלמים; מן המשפט נובע ש- ${\displaystyle \ F\subseteq {\hat {F}}\cong \mathbb {R} }$ - כלומר, כל שדה ארכימדי הוא תת שדה של השדה הממשי, ושדה זה הוא שדה חתכי דדקינד של כל אחד מהם.