שברון (סטטיסטיקה)

שברון (באנגלית: quantile) הוא מונח בסטטיסטיקה, שמתייחס לנקודת חתך שמתחתיה נמצאה החלק ה-q (כאן ${\displaystyle 0\leq q\leq 1}$) מהאוכלוסייה.

שברון של משתנה מקרי

יהי ${\displaystyle X\sim F}$ משתנה מקרי ממשי. נסמן את פונקציית ההתפלגות המצטברת $${\displaystyle F(x)=P\left[X\leq x\right]}$$ כאשר P מסמן הסתברות. השברון ה-q של X עבור ${\displaystyle 0\leq q\leq 1}$ הוא הערך ${\displaystyle \xi _{q}\in \mathbb {R} }$ כך שמתקיים $${\displaystyle F(\xi _{q})=P\left[X\leq \xi _{q}\right]=q}$$ אם F פונקציה מונוטונית עולה ממש אזי ${\displaystyle \xi _{q}=F^{-1}(q)}$.

שברון של התפלגות אמפירית

נניח שדגמנו ${\displaystyle n}$ נתונים מהתפלגות כלשהי, לא ידועה. נסדרם בסדר עולה: $${\displaystyle \min _{i}X_{i}=X_{1}\leq X_{2}\leq ...\leq X_{n-1}\leq X_{n}=\max _{i}X_{i}}$$ ונצייד את הנתונים בהתפלגות אמפירית: $${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {\#\{X_{i}\leq x\}}{n}}}$$ השברון ה-q הוא המספר ${\displaystyle \xi _{q}}$ ש-${\displaystyle qn}$ מהנתונים קטנים ממנו או שווים לו. הגדרה זו קצת בעייתית כי לא ברור ממנה איך להתייחס לשברון כאשר ${\displaystyle qn\notin \mathbb {Z} }$ איננו שלם, וישנן מספר גישות לנושא. אחת הגיסות הנפוצות היא ממוצע משוקלל של שני הערכים הסמוכים למספר זה. נסמן $${\displaystyle m=\left\lfloor qn+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }$$ ואז $${\displaystyle \xi _{q}=X_{m}\cdot \left(m+1-(qn+{\frac {1}{2}})\right)+X_{m+1}\left(qn+{\frac {1}{2}}-m\right)}$$ אנו רואים שכאשר ${\displaystyle m=qn+1/2\in \mathbb {Z} }$ אזי ${\displaystyle \xi _{q}=X_{m}}$.

דוגמה

לדוגמה, החציון ${\displaystyle q={\frac {1}{2}}}$. עבור n אי-זוגי (${\displaystyle n=2k+1}$),‏ מתקיים ${\displaystyle m=\left\lfloor {\frac {n}{2}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {2k+1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {2k+2}{2}}\right\rfloor =k+1}$ ואז $${\displaystyle ,\xi _{0.5}=X_{k+1}}$$ ועבור n זוגי (${\displaystyle n=2k}$) נקבל ${\displaystyle m=\left\lfloor {\frac {n}{2}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {2k}{2}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =k}$ ואז $${\displaystyle \xi _{0.5}=X_{k}\cdot \left(k+1-(k+{\frac {1}{2}})\right)+X_{k+1}\left(k+{\frac {1}{2}}-k\right)={\frac {X_{k}+X_{k+1}}{2}}}$$

שברונים שימושיים

מלבד החציון, שהוא השברון ${\displaystyle q=1/2}$, נפוצים בשימוש גם הרבעונים העליון ${\displaystyle q=3/4}$ והתחתון ${\displaystyle q=1/4}$, עשירונים, אחוזונים ואלפיונים.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא שברון בוויקישיתוף

• שברון, באתר MathWorld (באנגלית)