קריטריון ראות'-הורוביץ

קריטריון ליציבות ראות'-הורוביץ (Routh – Hurwitz) בתורת הבקרה הוא תנאי מתמטי הכרחי ומספיק ליציבות של מערכת בקרה ליניארית שאינה משתנה בזמן (LTI).

המתמטיקאי האנגלי אדוארד ג'ון ראות' בשנת 1876 הציע את "תנאי ראות'", אלגוריתם רקורסיבי יעיל שמאפשר לקבוע אם לכל השורשים של פולינום אופייני של מערכה ליניארית יש חלקים ממשיים שליליים – כלומר המערכת יציבה.^[1] המתמטיקאי הגרמני אדולף הורוביץ הציע באופן עצמאי בשנת 1895 לסדר את מקדמי הפולינום האופייני למטריצה מרובעת, המכונה מטריצת הורביץ, והראה שהפולינום יציב אם ורק אם מטריצות משנה שלה חיוביות.^[2] שני התנאים שקולים, כאשר תנאי ראות' מספק דרך יעילה יותר לחשב את קבועי הורביץ מאשר לחשב אותם ישירות.

חשיבות הקריטריון היא שכאשר השורשים של הפולינום האופייני של מערכת ליניארית בעלי חלקים ממשיים שליליים הם מייצגים פתרונות יציבים וחסומים של המערכת. לכן התנאי מספק דרך לקבוע אם למשוואות התנועה של מערכת ליניארית יש פתרונות יציבים בלבד, מבלי לפתור את המערכת ישירות.

עם התפתחות המחשבים, ירד השימוש בחישוב של הקריטריון משום שניתן לפתור באופן נומרי את הפולינום ולחשב את שורשי הפולינום האופייני באופן ישיר.

עבור מערכות דיסקרטיות, ישנם קריטריוני יציבות נוספים כמו קריטריון השור-כהן, מבחן ג'רי ומבחן ביסטריז.

יישום

תנאיים הכרחיים (ולא מספיקים) ליציבות הם:

• כל מקדמי הפולינום יהיו חיוביים
• אין מקדם השווה לאפס – פולינום מלא.

דוגמה כללית

נניח מערכת עם פולינום אופייני מסדר n.

• ${\displaystyle D(s)=a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_{0}}$

נגדיר טבלה עם n + 1 שורות באופן הבא: בשתי השורות הראשונות נציב את מקדמי הפולינום. לאחר מכן נחשב את שאר איברי הטבלה.

${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle a_{n-4}}$	${\displaystyle a_{n-2}}$	${\displaystyle a_{n}}$
${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle a_{n-5}}$	${\displaystyle a_{n-3}}$	${\displaystyle a_{n-1}}$
${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle b_{3}}$	${\displaystyle b_{2}}$	${\displaystyle b_{1}}$
${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle c_{3}}$	${\displaystyle c_{2}}$	${\displaystyle c_{1}}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \ddots }$

כאשר האיבר ${\displaystyle b_{i}}$ and ${\displaystyle c_{i}}$ מחושבים באמצעות:

• ${\displaystyle b_{i}={\frac {a_{n-1}\times {a_{n-2i}}-a_{n}\times {a_{n-(2i+1)}}}{a_{n-1}}}.}$
• ${\displaystyle c_{i}={\frac {b_{1}\times {a_{n-(2i+1)}}-a_{n-1}\times {b_{i+1}}}{b_{1}}}.}$.

כמות החלפות הסימן בעמודה הראשונה מעידה על כמות קטבים האי שליליים במערכת.

דוגמה פרטית

נבחן את יציבות מערכת עם הפולינום האופייני:

• ${\displaystyle 0.75s^{3}-3s^{2}+1.5s+6=0}$

ראשית, באופן מידי ניתן לראות שלא כל המקדמים חיוביים – תנאי הכרחי ליציבות.

כעת נממש את טבלת ראות':

0	0	${\displaystyle 1.5}$	${\displaystyle 0.75}$
0	0	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle -3}$
0	0	0	${\displaystyle 3={\frac {-3*1.5-0.75*6}{-3}}}$
0	0	0	${\displaystyle 6={\frac {3*6-0*(-3)}{3}}}$

בעמודה הראשונה, שתי החלפות סימן (3- → 0.75, וגם 3 → 3-), שמעידות על שני קטבים אי שלילים במערכת ולכן המערכת לא יציבה.

ראו גם

• דיאגרמת נייקוויסט
• שיטת לוקוס השורשים (אנ')

הערות שוליים

1. Routh, E. J. (1877). A Treatise on the Stability of a Given State of Motion: Particularly Steady Motion. Macmillan.
2. Hurwitz, A. (1895). "Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Theilen besitzt". Math. Ann. 46 (2): 273–284. doi:10.1007/BF01446812. (English translation “On the conditions under which an equation has only roots with negative real parts” by H. G. Bergmann in Selected Papers on Mathematical Trends in Control Theory R. Bellman and R. Kalaba Eds. New York: Dover, 1964 pp. 70–82.)