קירוב אוסין

קירוב אוסין הוא קירוב המתייחס לבעיות דינמיקת נוזלים בהן שדה הזרימה כולל הפרעה קטנה. פותח בשנת 1910 על ידי קרל וילהלם אוזיין (Carl Wilhelm Oseen). עבודתו התבססה על ניסויי ג'ורג' סטוקס אשר עסקו בחקר ספירה ברדיוס ${\displaystyle a}$ הנופלת לתוך נוזל בעל צמיגות ${\displaystyle \mu }$. אוסין פיתח תיקון הכולל פקטור אינרציה עבור המהירות שנלקחת בחישובי סטוקס לפתירת הבעיה. הקירוב שלו הוביל לשיפור של חישובי סטוקס.

יש לשכתב ערך זה. ייתכן שהערך מכיל טעויות, או שהניסוח וצורת הכתיבה שלו אינם מתאימים.

שימושים

תנועה איטית של חלקיקים קטנים זורם נפוצה בביו-הנדסה ואווירונאוטיקה.

נוסחת הגרר של אוסין ניתנת לשימוש במסגרת כדוגמה: שקיעת חלקיקים בצנטריפוגה, קולואידים ודם העובר תחת בידוד של גידולים ואנטיגנים.

ניתן לשימוש במספר אפליקציות, כמו היווצרות ערפיח ואטומיזציה של נוזלים.

דוגמה

זרימת דם בכלים קטנים, למשל נימים, מאופיינת על ידי מספרי ריינולדס ווומרסלי קטנים. צינור בקוטר ${\displaystyle d=10[\mu m]}$ עם זרימה של ${\displaystyle U=1[{\frac {mm}{sec}}]}$, צמיגות של 0.02 בשיווי משקל של דם, צפיפות של ${\displaystyle \rho =1[{\frac {gr}{cm^{3}}}]}$1 וקצב פעימות לב של ${\displaystyle 2[Hz]}$, ייתן מספר ריינולדס של ${\displaystyle N_{R}=0.005}$ ומספר וומרסלי(אנ') של 0.0126. במספרים כה קטנים (${\displaystyle N_{R}<<1}$), אפקטי הצמיגות של הנוזל יהפכו לדומיננטיים. הבנת התנועה של החלקיקים חיונית עבור חישוב כוח הגרר, למשל עבור חקירת תנועה או הזזה של תאים סרטניים (גרורה).

חישובים

אוסין החשיב את הספירה כסטציונרית, כאשר הנוזל זורם במהירות U במרחק אינסופי ממנה. האינרציה הוזנחה בחישובי סטוקס. זהו פתרון גבולי כאשר מספר ריינולדס שואף ל-0. כאשר מספר ריינולדס הוא קטן וסופי, (למשל 0.1) נדרש תיקון עבור הנחת האינרציה. אוסין הציב את המהירויות הבאות במשוואות נאוויה-סטוקס:

${\displaystyle v1=U+v1'}$

${\displaystyle v2=v2'}$

${\displaystyle v3=v3'}$

בהצבת המהירויות, והזנחה של הנגזרות מסדר שני נקבל את הנגזרת של קירוב אוסין:

${\displaystyle U{\frac {\partial v_{1}'}{\partial x_{1}}}={\frac {-1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{1}}}+\nu \nabla ^{2}v_{i}'}$

כאשר הפתרון של משוואת סטוקס נפתר על סמך בסיס קירוב אוסין, כוח הגרר ההידרודינמי נתון על ידי:

${\displaystyle F=6\pi \mu aU(1+{\frac {3}{8}}N_{R})}$ כאשר:

• ${\displaystyle N_{R}}$ הוא מספר ריינולדס המתבסס על רדיוס הספירה.
• F הוא הכוח ההידרודינמי
• U היא מהירות הזרימה
• ${\displaystyle a}$ הוא רדיוס הספירה
• ${\displaystyle \mu }$ היא הצמיגות

הכוח ממשוואת אוסין נבדל מהכוח ממשוואת סטוקס בפקטור של:

${\displaystyle 1+{\frac {3}{8}}N_{R}}$

הטעות בפתרון של סטוקס

משוואות נאוויה-סטוקס:

${\displaystyle \nabla v'=0}$ ${\displaystyle v\nabla v'=-\nabla p+\nu \nabla ^{2}v'}$

שדה המהירויות:

${\displaystyle v_{y}=U\cos \theta (1+{\frac {a^{3}}{2r^{3}}}-{\frac {3a}{2r}})}$ ${\displaystyle v_{z}=-U\sin \theta (1-{\frac {a^{3}}{2r^{3}}}-{\frac {3a}{2r}})}$

כאשר ${\displaystyle {\frac {r}{a}}>>1}$ הלחץ הויסקוזי נשלט על ידי האיבר האחרון. כלומר:

${\displaystyle \nabla ^{2}v'=O\left({\frac {a^{3}}{r^{3}}}\right)}$

איבר האינרציה נשלט על ידי האיבר :

${\displaystyle U{\frac {\partial v'}{\partial z_{1}}}\sim O\left({\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)}$

והשגיאה נתונה על ידי היחס:

${\displaystyle U{\frac {\frac {\partial v'}{\partial z_{1}}}{\nu \nabla ^{2}v'}}=O\left({\frac {r}{a}}\right)}$

כאשר ${\displaystyle {\frac {r}{a}}>>1}$, זה הופך לבלתי מוגבל, ולכן לא ניתן להתעלם מהאינרציה בשדה הזרימה הרחוק יותר. משוואת סטוקס מובילה ל ${\displaystyle \nabla ^{2}\varsigma =0}$ . כיוון שהגוף הוא מקור לערבוליות, ${\displaystyle \varsigma }$ יהפוך ללוגריתמי שאינו מוגבל עבור ${\displaystyle {\frac {r}{a}}>>1}$ . דבר זה אינו פיזיקלי וידוע כ"פרדוקס סטוקס".

תיקון לקירוב אוסין

הזורם שבסמוך לספירה נמצא כמעט במנוחה, ובאזור זה כוחות האינרציה זניחים ולכן משוואת סטוקס נכונה ומוצדקת. במרחק גדול מהספירה, מהירות הזורם שואפת ל- U וקירוב אוסין הוא המדויק יותר. אבל משוואת אוסין התקבלה משימוש במשוואת סטוקס עבור כל שדה הזרימה.

התשובה לבעיה זו ניתנה על ידי פרודמן (Ian  Proudman) ופירסון (J. R. A.  Pearson) בשנת 1957. הם פתרו את משוואת נאוויה סטוקס והציעו פתרון סטוקס משופר בסביבת הספירה ופתרון אוסין משופר רחוק מהספירה, באינסוף, והצליחו להתאים בין שני הפתרונות. לפיהם:

${\displaystyle F=6\pi \mu aU(1+(3/8)N_{R}+(9/40)N_{R}^{2}\ln N_{R}+O(N_{R}^{2}))}$